Différentiabilité d'une fonction

[Bleyblue]

Bonjour,

Je dois montrer que la fonction :



(A est une matrice symétrique n*n et ou <u,v> désigne le produit scalaire de u et v)

est différentiable en tout point a de Rⁿ et que

Auriez-vous une idée sur la manière dont je dois procédé ?
Apparament je dois revenir à la définition de la différentielle :

f est différentiable en a si :



et dans ce cas T est la différentielle.

Mais ça ne m'aide pas des masses moi.
Je suis sensé calculer explicitement les expressions de f(a + h), f(a) et T(h) ?

Ca doit être horrible ...

merci
-----

[edpiste]

développe l'expression de f(a+h)-f(a) à partir de l'expression de f donnée puis regroupe les termes constants (ceux qui ne dépendent pas de h), ceux d'ordre h et ceux d'ordre h^2. Ceux d'ordre h te donnent T et il n'y a plus qu'à appliquer ta formule...

[edpiste]

Mais ça ne m'aide pas des masses moi.
Je suis sensé calculer explicitement les expressions de f(a + h), f(a) et T(h) ?

Ca doit être horrible ...

merci

Bien sûr, il ne faut pas faire un calcul en fonction des coef de A mais rester à un niveau plus formel.

[Gwyddon]

Se souvenir que l'application linéaire associée à A est linéaire ( ) donc continue en dimension finie, ça peut servir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

Salut

Ne cherche pas a tout developper



L indice utile: "A est symetrique" donc
. en fait est l adjoint de A.

Reste plus qu a conclure

En esperant ne pas m etre trompe
@+

[Bleyblue]

C'est bien comme ça que j'ai pensé à faire suite aux remarques d'edpiste et de Gwyddon mais pour ma part je suis bloquer à :

f(a + h) = <A(a + h), a + h> = <Aa + Ah,a + h> mais après ça ...
Je pense qu'il faut appliquer les propriétés du produit scalaire (dont je ne me souviens plus ) pour tomber sur :

<Aa,a> + <Aa,h> + <Ah,a> + <Ah,h>

et ton o(h) ça désigne <Ah,h> ?

merci

[GrisBleu]

Salut

Le produit scalaire est bilineaire, ie lineaire a gauche et a droite, cf wikipedia. Donc tu peux ecrire directement
<A(a+h,a+h>=<Aa,a> + <Aa,h> + <Ah,a> + <Ah,h>

Ensuite, effectivement

cad que quand h tend vers 0, tend vers 0. C est un terme d ordre deux et ne compte pas dans le calcul de la differentielle

si tu as d autres questions

++

[Bleyblue]

Salut
Ensuite, effectivement

cad que quand h tend vers 0, tend vers 0. C est un terme d ordre deux et ne compte pas dans le calcul de la differentielle

Ah ok c'était la notion de petit o, je comprends

Je pense que j'y suis, mais comment pourrais-je justifier que <Ah,h> est en o(h) ? Ca ne me paraît pas évident comme ça ...

merci !

[Gwyddon]

Grâce à la bilinéarité du produit scalaire (qui le rend continu en dimension finie) et à la linéarité de A (qui la rend continue aussi, en dimension finie)

[Bleyblue]

ah, j'ai été revoir mes notes sur les espaces euclidiens (ça date d'il y a longtemps) et j'ai vu que la bilinéarité c'est la propriété :

... et ça doit me permette de montrer que <Ah,h> est en o(h) ... ?

L indice utile: "A est symetrique" donc
. en fait est l adjoint de A.

Comment suis-je sensé montrer ça ? Nous n'avons pas encore vu ça au cours d'algèbre linéaire, le prof d'analyse commence vraiment à m'agacer avec ces drôles de travaux

merci

[GrisBleu]

Salut

Pour le petit o, gwyddon me semble avoir donne la reponse, mais c est assez intuitif pour moi: il y a deux h, c est donc d ordre deux, donc negligeable lors du calcul d une differentielle quand l ordre un est non nul

Sinon, le produit scalaire des vecteurs est "canoniquement"

Or c est un reel donc la transpose d un reel est le meme reel, ce qui revient a dire que

Remplace u par Ah et tu as ce que tu veux. Generalement, dans le cas reel, <|> est symetrique

++

[Bleyblue]

Pour la deuxième propriété ça va mais pour le petit o je ne vois pas bien comment le montrer. Une justification uniquement intuitive ne m'avance pas.

J'ai essayé de développer comme ça :


mais après je suis de nouveau bloquer

merci

[GrisBleu]

Salut

Effectivement une justification s impose, mais la dessus l intuition sert pas mal . Sinon, j essaierai quelque chose comme ca:
par inegalite de schwartz. donc .
donc .
La tu peux finir de deux manieres
- tu connais la theorie des operateurs lineaires dans un espace norme et tu as et donc
- plus intuitif et bourrin: tu as (verifie le a la mian) ou est une composante de Ah. si c est la composante j, tu peux l ecrire comme le produit scalaire de la ligne j de A par h: et tu appliques l inegalite de schwartz.
. Encore une fois


++

[Bleyblue]

Merci bien, ça va me permettre de terminer mon travail

(Il faudra aussi que j'aille dire au professeur d'analyse que nous ne sommes pas encore arrivé aussi loin en algèbre linéaire, non mais )

un grand merci à tous !