Continuité et dérivabilité d'une suite de fonction

[invite938e0893]

bonjour à tous
je dois démontrer la continuité sur [O;+oo[de :

f_n(x)=(1-x/n)ⁿ pour 0<x<n

et

f_n(x)= 0si x >n

et aussi la dérivabilité sur [O; +oo[ si n> 2

voilà je voulais savoir si quelu'un pouvait m'aider

merci par avance
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[Jeanpaul]

A quel intervalle appartient n ?
Il est évident que si n<0, il n'y a pas continuité en x=n.

[invite938e0893]

on a : n>1

[invitec053041c]

Es-tu d'accord que tu seras venue à regarder ce qu'il se passe pour x=n seulement.
En effet, sur [0;n[
C'est-à-dire un gentil polynôme continu dérivable.
De même,sur ]n;[,f(x)=0
Donc une fonction continue dérivable partout.
Celà réduit ton étude au point n.

D'ailleurs, pour ta définition des , il doit y avoir un endroit où la borne en n est ouverte; car elles sont toutes les deux fermées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite938e0893]

merci bien mais pour la définition de f_n(x) aucune borne n'est ouverte ...

mais pour l'étude en n il suffit de regarder si les limites existes ?

[invitec053041c]

De toutes les manières c'est pas très grave pour les bornes, car ça se raccorde (ça répond à la question de continuité d'ailleurs!).
Oui, il faut étudier les limites en n à gauche et à droite, et comparer avec la valeur que la fonction prend en ce point.

[invite938e0893]

De toutes les manières c'est pas très grave pour les bornes, car ça se raccorde (ça répond à la question de continuité d'ailleurs!).
Oui, il faut étudier les limites en n à gauche et à droite, et comparer avec la valeur que la fonction prend en ce point.

je te remercie beaucoup