Dynamique non linéaire : Bifurcation

[invite4b31cbd7]

Bonjour,

Je dois trouver les bifurcation de l'équation différentielle en fichier attaché, pour le paramètre mu. J'ai de la difficulté à trouver le type de bifurcation et le pamaètre critique, car d'abord il a y deux point fixe, 0 et Pi, donc un dirait une bifurcation transcritique (c'est le seul type de bifurcation qui possède deux point fixe en tout temps) mais le pròblème c'est qu'en dévellopant autour de 0 par exemple, je me retrouver avec l'équation type d'un ''pitchfork bifucation''. Où est l'erreur ?
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[Gwyddon]

Salut,

Je n'ai pas trop compris ton argument à propos du fait que c'est sensé être une bifurcation transcritique.

Sinon, que donne ton DL autour de zéro ?

Pour ma part, en me limitant à l'ordre 3 j'ai ce qui est donné dans le fichier joint.

[invite4b31cbd7]

J'arrive aussi à ce résultat, et c'est ce qui me perturbe

En fait, ce genre d'équation (que vous obtenez) est caractéristique d'un ''pitchfork bifurcation subcritic'' (j'ai oublié le nom en français), caractérisé par le fait que les points fixes arrivent en pairs. Cependant si on regarde l'équation, celle-ci possède deux points fixe pour tout mu (sauf 1 et -1). De plus, la stabilité des deux points fixe dépend de mu (d'un façon étrange, ce qui me fait croire qu'on est pas en présence d'une transcritique, mais même le pitchfork ne devrait pas changer sa stabilité non ? ).

De plus le dévellopement autout de 0 n'est pas pareil que le dévellopement autour de pi, mais les deux laisser présager un pitchfork, donc un possibilité de 4, p-e 6 points fixe ??? Je suis surement dans le champs à quelque part mais où ?

P.S. à noter que je travaille sur le cercle, donc je me restreint à un intervaller de téta entre 0 et 2pi.

[Gwyddon]

En fait c'est plus compliqué qu'il n'y paraît.

En effet c'est une bifurcation fourche (pitchfork), soit supercritique soit sous-critique, tout dépend du signe de

r est le vrai paramètre de contrôle, et si jamais il est positif il faut pousser le DL à l'ordre 5 afin de stabiliser le système. Tu as donc oublié un des deux cas

Un coup d'oeil ici : http://www.eleves.ens.fr/home/baglio...ue/CoursNL.pdf (un peu de pub pour moi )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b31cbd7]

D'accord, mais comment expliquer le fait qu'il y a seulement deux points fixes de possibles ? (alors qu'une fourche en possède généralement 3 non ? , de plus il semble y avoir une fourche à 0 et une fouche différente à pi, non ? )

[Gwyddon]

Déjà à la base, même en se restreignant à je vois trois points fixes

[invite4b31cbd7]

Ouais mais je vous ai dit que je travaillais sur le cercle, donc 0 et 2pi sont le même point.

[Gwyddon]

Bonsoir,

Je n'ai pas trop le temps de revenir discuter du problème avec toi, désolé. Ceci dit, as-tu avancé ?

[invite4b31cbd7]

Plus ou moins, même en traçant on voit bien qu'il n'y a pas autant de points fixe que la linéarisation le laisse croire. Je essayer un autre truc d'ici demain, mais en passant il s'agit d'un problème du chapitre 4 de Strogatz, que vous avez dans votre bibliographie