Matrice et surjectivité...

[invite39b6d083]

Bonjour, je voudrai avoir une précision sur une démonstration. J'essai de montrer qu'une application f qui va de Mn,p (K) dans K^np est un isomorphisme.
Donc en prenant f qui associe à la matrice A=(aij) (1<i<n et 1<j<p), la famille (a11,a12,...,anp) la linéarité et l'injectivité me pose pas de problème, par contre la surjectivité, je doute.

On sait que si pour tout X € K^np, il existe A € Mn,p (K) tel que X=f(A). Ca c'est la définition, mais honnêtement j'ai du mal à voir le truc, à le démontrer en faite. On m'a dit que c'est évident mais je vois pas du tout pourquoi, ça doit être un truc tout con mais je voudrai comprendre et savoir le démontrer.

Merci beaucoup de votre aide.
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[invite6de5f0ac]

Bonjour,

L'application de M_n,p(K) vers K^np qui à la matrice (a_ij) associe le np-uple (a₁₁,...,a_np) n'est rien de plus qu'un réarragement des coefficients: la bijectivité est donc évidente. Il reste à montrer que c'est linéaire moyennat un choix judiceux des lois de composition...

-- françois

[invite39b6d083]

Oui d'accord, merci beaucoup, c'est bon je viens de comprendre, j'ai réecri ça clairement.

[invite1ff1de77]

bonjour,
je crois qu'il y a un chemin plus court
tu as montré l'injectivité d'accord
il suffit de montrer que l'ensemble de depart et d'arrivée ont la meme dimension ce qui est le cas ici
donc c'est une bijection...
et je ne crois pas que la linéarité peut poser un probleme....!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite116650d7]

bonjour,
je crois qu'il y a un chemin plus court
tu as montré l'injectivité d'accord
il suffit de montrer que l'ensemble de depart et d'arrivée ont la meme dimension ce qui est le cas ici
donc c'est une bijection...
et je ne crois pas que la linéarité peut poser un probleme....!

Oui, il faut acquérir ce genre de réflexes. La linéarité est souvent facile à démontrer, on bute plutôt pour montrer la bijectivité de l'application. Une technique classique consiste à montrer son injectivité (à l'aide du Ker), et à se servir de l'hypothèse de même dimension finie de l'espace de départ et d'arrivée...Bien sûr, cela ne marche pas toujours, mais il faut s'habituer à différentes techniques...

[invite6de5f0ac]

Oui, il faut acquérir ce genre de réflexes. La linéarité est souvent facile à démontrer, on bute plutôt pour montrer la bijectivité de l'application. Une technique classique consiste à montrer son injectivité (à l'aide du Ker), et à se servir de l'hypothèse de même dimension finie de l'espace de départ et d'arrivée...Bien sûr, cela ne marche pas toujours, mais il faut s'habituer à différentes techniques...

Bonjour,

Parfaitement d'accord avec le fait qu'il y a des réflexes à acquérir. Mais dans ce cas précis, la bijectivité provient de ce que la "transforrmation" n'est qu'une renumérotation fes coefficients, non?

-- françois

[invite116650d7]

Bonjour,

Parfaitement d'accord avec le fait qu'il y a des réflexes à acquérir. Mais dans ce cas précis, la bijectivité provient de ce que la "transforrmation" n'est qu'une renumérotation fes coefficients, non?

-- françois

Bonjour,

Il est clair que l'application est bijective, ici, on peut conclure tout de suite.
Ma remarque est plutôt intéressante dans le cas général, et il en effet assez fréquent de retrouver ce genre de situations...

[invite1ff1de77]

bonsoir,
a propos de la remarque de fderwelt
il me semble que ce n'est pas toujours le cas a moins que ca soit un endomorphisme je veux dire le meme espace
ce qui n'est pas le cas dans notre exemple