Condition sur Ker et Im

[Dark Nemo]

Salut,

un pb d'espace vectoriel me pose probleme:

Soit E un Kev et f € L(E)

On pose
mq Ker Imf inter Kerf = {0}

bon alors je pense qu'il faut déja monter l'implication puis la réciproque.

mais j'ai un pb, je ne vois pas bien ce que peut représenter Im(f) inter Ker(f) et comment le faire apparaitre dans le démonstration...

merci de m'aider

[martini_bird]

Salut,

ici l'image et le noyau coexiste dans le même espace puisque f est un endomorphisme. Pour te mettre sur la voie, sache qu'un élément x appartient à leur intersection ssi f(x)=0 et x=f(y) pour un certain y.

Cordialement.

[invite67423456789]

en effet il faut faire par double implication pour avoir l equivalence :

=>
soit y €Ker f inter Im f
y € Im f => il existe x € E, y = f(x)
y € Ker f => f(y)=0 => f(f(y)) = 0 donc fof(x) = 0 => f(x) = 0 car f²=f par lhypothese
donc x € Ker f donc f(x) = 0
or y = f(x)
d ou l intersection se restreint a 0

ici tu as jsute a utiliser les definitions et a les interpreter etp uis aprse quelques tripotages ca te sautera aux yeux

<=
la il faudrait montrer que Ker f² = Ker f par double inclusion :

Ker f C Kerf f²
si x € Ker f, alors f(x) = 0
donc f(f(x)) = f(0) = 0
donc x € Ker f² CQFD !

Ker f² C Ker f
f²(x)=0 : fof(x) = 0
donc f(x) € Ker f inter Im f
or cette intersection se restreint a 0
donc f(x) = 0 ie x €Ker f CQFD

[lolouki]

bonsoir, juste une petite remarque :

"Ker f C Kerf f²
si x € Ker f, alors f(x) = 0
donc f(f(x)) = f(0) = 0
donc x € Ker f² CQFD ! " ce raisonnement est vrai pour toute application lineaire. (on sait jamais ca peut etre utile )

[Dark Nemo]

bonsoir et désolé pour le blanc

y € Ker f => f(y)=0 => f(f(y)) = 0 donc fof(x) = 0 => f(x) = 0 car f²=f par lhypothese

pardon mais de quelle hypothèse parlons-nous, en fait je ne vois pas bien.

sinon merci a tous, vous m'avez bien aidé, les espaces vectoriels c'est quand même abstrait et j'ai un peu de mal...

Cordialement

[invite67423456789]

de l hypothese Ker f² = Ker f :
en effet si x € Ker f, alors f(x) = 0
or ker f² = ker f donc f²(x) = f(x) = 0
c'est vrai que c'est pas evident moi aussi jai du mal, mais tjrs penser aux definitions en fait, et ca devrait se suivre, apres c'est pas tjrs evident d introduire tel point dans tel espace etc...
tu es a quel niveau ?

[Ledescat]

Mmm j'ai fait cet exercice aujourd'hui, fof=f ssi f est un projecteur.

[Dark Nemo]

je suis en MPSI au Lycée vaugelas à CHambéry; mon niveau en maths n'est pas vraiment bon en fait j'ai surtour du mal dans la rigueur de la rédaction et je ne vois pas tjs bien lors des exercices ou on veut en venir...c'est assez handicapant

[invite67423456789]

Mmm j'ai fait cet exercice aujourd'hui, fof=f ssi f est un projecteur.

o non ne rajoute pas les projecteurs
a comme quoi la fac ca ouvre l esprit , mais si tu bloques reviens tjrs a ton cours ca pourra surment t aider