Géométries

[Quinto]

Bonjour,
pour faire de la géométrie euclidienne il faut avoir quelques outils sous la main, notamment savoir jongler avec les espaces L2(E), les notions de dualité, produit scalaire, adjoint et compagnie.

L'an prochain j'aurai du suivre (et malheureusement pour diverses raison je ne pourrai pas) une option qui portait sur les géométries euclidienne, mais aussi sur les non euclidiennes, et pour celà je me demandais quels étaient les outils algébrique qu'il fallait avoir pour étudier tout ca.
Je suppose qu'il faut bien savoir manier les groupes et les anneaux, mais bizarrement je ne sais pas pourquoi, mais je suis sur que ca doit bien servir.

Et encore?
En fait, je me demandais un peu sur quoi reposait ces géométries?
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[doryphore]

Je ne suis pas le mieux placé pour en parler.
Mais le lien le plus étroit qui existe entre les groupes et les géométries est le fait qu'on défini la géométrie par la donnée d'un groupe et de l'opération du groupe sur un ensemble.

ex: Géométrie affine : groupe affine
Géométrie projective : PGL(n,k)
Géométrie euclidienne : groupe des isométries
Géométrie hyperbolique : groupe de Lorentz
...

Donc la première notion à aborder est : L'opération d'un groupe sur un ensemble.

Reviens si tu ne trouve pas toi-même la définition.

[Quinto]

Salut,
je la connais la définition, on la voit en spé et en licence normalement.
Je ne savais pas que c'était lié à ca.

Je te remercie, j'y vois un peu plus clair déjà.

[invite51f4efbf]

En fait, je me demandais un peu sur quoi reposait ces géométries?

En fait, les notions théoriques nécessaires ne sont pas exceptionnellement démesurées, c'est surtout un domaine technique (i.e. calculatoire).

L'objet de base, c'est la variété différentiable : c'est un espace topologique de hausdorff localement homéomorphe à , avec la condition que ces homéomorphismes soient compatibles entre eux, c'est à dire que l'un composé avec l'inverse de l'autre soit un difféomorphisme entre ouverts de . Je suppose que tu connais cette notion de variété (sinon j'en ai fait une description sur le fil "manifold" ici-même). Dans le pire des cas, imagine une surface M gentille. Autour de tout point p de M, je peux centrer un ouvert U contenu dans la surface, et qui soit difféomorphe par une application à un ouvert V de , ou plus généralement . L'ouvert U se nomme un domaine, et le difféomorphisme se nomme une application de coordonnées (parce qu'on a ainsi introduit des coordonnées locales sur la surface autour de p). La donnée des deux se nomme une carte locale à la variété, en le point considéré.

lui-même, n'importe quel ouvert de sont des exemples classiques, avec la carte identité.

Donnée une variété lisse M, tu peux définir les fonctions différentiable dans un voisinage d'un point, à valeurs dans : la différentiabilité d'une telle fonction se définit comme suit : la fonction est différentiable au voisinage du point p de M s'il existe une carte locale à M en p telle que est différentiable, ce qui a du sens puisque l'on parle alors d'une application de dans . On montre assez facilement que ceci est équivalent au fait que pour toute carte locale, cette application est lisse. Un telle fonction est stationnaire si chaque dérivée partielle de est nulle.

Voici la chose : on a des objets, sur lesquels on peut se repérer localement, et cette manière de se repérer est lisse. De plus, on a une notion de fonction différentiables sur cet objet.

Maintenant, on se place en un point p, et on regarde les fonctions différentiables au voisinage de p. Notons l'ensemble des ces fonctions. Une dérivation est une application qui est linéaire, nulle sur les fonctions stationnaires, et vérifiant la règle suivante : (c'est une règle de Leibniz).

On arrive à montrer la chose suivante : l'ensemble des dérivations muni de la somme et du produit extérieurs naturels forme un espace vectoriel (première année), et de plus il est de dimension n, ce qui est un corollaire du théorème de Taylor.

Ainsi, en chaque point on peut attacher une copie de l'espace usuel, qui s'identifie parfaitement au plan tangent quand on regarde une surface gentille, par exemple. Pour cette raison, cet objet se nomme espace tangent à M en p, et se note .

Reprenons : on a un objet géométrique, avec en chaque point une copie de . Eh bien je vais faire la chose suivante : sur chaque , je vais mettre un produit scalaire au sens usuel : une forme bilinéaire symétrique définie positive, que je vais noter g(p), dans le sens que le produit de deux vecteurs tangents sera noté g(p)(u,v). J'exige que cette application dépende différentiablement du point p, et on peut montrer que c'est toujours possible. L'objet g, qui est un champ de tenseurs (0,2), se nomme une métrique riemannienne, et le couple (M,g) est alors appelé une variété riemannienne.

Maintenant on peut commencer les choses sérieuses : avec la métrique, vient ce qu'on appelle les isométries : ce sont les applications f d'une variété riemannienne (M,g) dans une autre (N,h) qui préservent la métrique, dans le sens où la dérivée df de cette application (qui est une application entre les espaces tangents) vérifie h(df(uv),df(v)) = g(u,v). A partir de là, on va tenter d'établir une classification, c'est à dire de donner des critères pour savoir quelles variétés riemanniennes sont isométriques et lesquelles ne le sont pas (c'est une question que l'on a pas fini de traiter à ce jour !).

Avec la métrique vient un invariant que l'on nomme la courbure, et qui mesure le défaut de la variété à être euclidienne, c'est à dire à être isométrique à muni de la métrique usuelle (j'ai dit que c'est une variété lisse de dimension n : en plus son espace tangent en tout point est lui-même, et donc on a une métrique qui est en tout point le produit scalaire usuel). On a une chance phénoménale puisque cette courbure caractérise bien la géométrie, dans ce sens que la courbure est constante nulle si, et seulement si la variété est localement isométrique à .

En étudiant ce défaut à être euclidien, on a découvert des objets intéressants : les courbes qui en tout point suivent les chemins de courbure minimale. Ces courbes particulières se nomment les géodésiques, et sont vraiment intéressantes pour plusieurs raisons. Tout d'abord, elle se confondent avec les courbes localement extrêmales, c'est à dire qu'elle minimisent la distance entre deux points suffisamment proches. De plus, elles sont uniques dans le sens suivant : étant donné un point p, et un vecteur v tangent à p, il existe une unique géodésique c paramétrée de manière maximale (en augmentant au maximum le domaine de paramétrisation sans qu'elle ne sorte de la variété) dont le domaine de paramétrisation contienne 0 et telle que c(0) = p, c'(0) = v. Ceci parce qu'en fait une géodésique est une solution d'équation différentielle ordinaire.

Maintenant, on a les phénomènes suivants : on suppose une variété connexe, et dans laquelle les géodésiques peuvent toujours être prolongées (le domaine de paramétrage maximal est .

Alors il existe des géodésiques parallèles si et seulement si la courbure est identiquement nulle. En courbure strictement positif, les géodésiques ont toujours un point commun, et en courbure négative les géodésiques s'écartent. On retrouve ainsi l'approche historique, nettement moins claire !

Bon, tout ceci n'est qu'un résumé (notamment j'ai passé de nombreuses choses sous silence, par exemple pourquoi la dérivée d'une application entre variétés est une application linéaire d'un espace tangent dans un autre, je n'ai pas non plus dit ce que signifie dériver un chemin, etc... On se doute bien que j'y passerais des semaines, et que finalement c'est une généralisation de la géométrie des surfaces : pour avoir l'intuition il suffit de savoir ce que ça veut dire dans ce cas particulier).

L'algèbre intervient soit dans l'étude de la topologie (groupe fondamental), soit dans l'étude du groupe des isométries d'une variété, c'est à dire du groupe des matrices qui laissent invariant le produit scalaire. Parfois bien comprendre le groupe des isométries permet de connaître les géodésiques (seulement parfois : la plupart du temps c'est assez hardu, et il faut faire du numérique, mon pote Roland en sais quelque chose )

Amicalement,
Stephen

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

Salut,
c'est énorme ce que tu m'as pondu, merci d'avoir pris autant de temps et de ta gentillesse, je vais lire ca à tete reposée parce que whaoo, y'a matière à faire...

Encore merci, ca m'éclairera bien je pense.

[invite9578a63f]

Pardonnez mon ignorance mais qu'est-ce que l'homéomorphisme?

[invite51f4efbf]

Une bijection continue, dont l'inverse est continue

[invite9578a63f]

ok merci stephen

[invite206bb45f]

Maintenant, on a les phénomènes suivants : on suppose une variété connexe, et dans laquelle les géodésiques peuvent toujours être prolongées (le domaine de paramétrage maximal est .

Alors il existe des géodésiques parallèles si et seulement si la courbure est identiquement nulle.

Il faut quand meme supposer que la courbure est de signe constant.

Sinon, je voulais juste dire que l'idee que la geometrie d'un objet est intimement liee a son groupe d'isometrie (idee mentionnee dans un post precedent qui parlait des geometries non euclidiennes, cf programme de Klein) ne marche que pour des varietes riemanniennes tres particulieres, qui doivent avoir beaucoup d'isometries (genre demi-plan hyperbolique, sphere...). Une variete riemannienne tiree au hasard n'a pas d'isometries du tout, et donc ces methodes ne sont pas applicables.