Une intégrale géométrique...

[Gpadide]

Bonjour, je voudrais savoir comment calculer l'intégrale suivante :



sachant que je connais deja le résultat en ayant fait un dessin. Mais j'aimerais le retrouver avec un changement de variable rigoureux.
Pour ca j'ai "recentré" en [0,1], puis j'ai fais un changement de variable trigo mais je suis géné pour les bornes, visiblement mon changement de variable n'est pas bien défini. Je pensais que sur un segment on n'avait pas besoin du caractere C1-difféomorphique. Qu'en est il ?
Merci pour vos réponses a toutes ces questions.
-----

[martini_bird]

Salut,

je ne comprends pas trop ta bidouille : pour moi, le trinôme sous le radical est clairement égal à et par conséquent en posant y=x/2-1, on obtient une intégrale du type qui se résoud en posant ...

Cordialement.

[Gpadide]

Oui mais c'est apres que ca me gene. Pour les bornes de l'intégrale avec ce changement de variable trigo...

[invitec053041c]

Si tu poses y=x/2-1
La première borne x=1 devient y=1/2-1=-1/2
La seconde borne x=3 devient y=3/2-1=1/2
Tu t'es bien ramené entre -1 et 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

Puis en faisant le deuxième changement de variable les bornes sont -pi/6 et pi/6...

[Gpadide]

Mon premier changement de variable a été:
x=2t+1
car par reflexe, x decrivant [1,3], je l'ecris barycentriquement sous la forme :
x=3t + (1-t)*1 pour que la variable soit dans [0,1]. Pouvez vous me dire comment j'aurais pu savoir que cette methode echouerait ? Et comment j'aurais pu arriver a poser le changement du descat (y=x/2-1)

[invitec053041c]

quand tu as quelque chose du genre:


Tu te ramènes à la forme canonique:

sont des coef à déterminer, et +/- selon le discriminant, bref là je t'apprend rien.
A partir de là, tu fais déjà un premier changement de variable pour te ramener à du
Et là, un changement en sin,cos,sh ou ch s'impose selon si tu as + ou - 1, et selon les bornes d'intégration.
Là il faut voir sur le moment quel changement de variable est le mieux adapté.