définition géométrique de la tangente à une courbe

[edpiste]

Si G est le graphe d'une fonction (réelle de la variable réelle) régulière en un point A, on définit habituellement sa tangente comme la droite limite d'une suite de sécantes (passant par le point A et un point B convergeant vers A).

Je cherche à savoir si une définition ne faisant pas intervenir de passage à la limite est envisageable.

Par exemple, si G est (localement) le graphe d'une fonction (strictement) convexe, on peut définir la tangente à la courbe au point A comme la droite qui (localement) intersecte la courbe au point A et au point A seulement et telle que le graphe G se trouve (localement) d'un seul côté de cette droite.

Cette définition se généralise d'ailleurs bien à des fonctions convexes non régulières comme la valeur absolue (l'ensemble des droites vérifiant la définition de tangente ci-dessus est alors appelé sous-différentiel de la fonction).

Par contre, cette définition ne marche pas du tout avec f(x)=x^3, c'est-à-dire lorsque la courbe a un point d'inflection....

Toute idée bienvenue, merci.
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[invite4b9cdbca]

Hm... pour ta définition avec une fonction convexe, si je prends la tangente à la courbe quand x=-3 par exemple, ma tangente beaucoup de points communs avec la droite. (entre ]-infini , 0] les deux courbes sont superposées)
Bon après je sais pas si je prends la bonne définition de l'intersection, mais bon...

[invite6de5f0ac]

si je prends la tangente à la courbe quand x=-3 par exemple, ma tangente beaucoup de points communs avec la droite

Bonjour,

edpiste précise bien localement dans sa "définition"... ce qui me semble une manière de dissimuler un passage à la limite. Que veut dire exactement "localement", peut-être "dans un voisinage suffisamment petit du point A"?

-- françois

[invite4b9cdbca]

Cela ne change rien à mon affaire, fderwelt.
Prenons la fonction f : x -> |x| et sa tangente en -3, qui a pour équation g(t) = -t
Das un voisinage de -3, soit ]-3-h, -3+h[, on peut faire tendre h vers ce qu'on veut (et il y a bien notion de limite ici), sur cet intervalle, on a g(x)=f(x)
La tangente à f en -3 et la courbe représentative de f ont un infinité de points communs, puisqu'ils sont égaux sur mon intervalle et sur tout intervalle de cette forme pou 0< h < 3.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

Pour kron : tu as raison, mais c'est peut-être l'objet du "strictement" convexe d'éviter la fonction valeur absolue (bien que edpiste la cite en exemple).

Pour edpiste : même question que fderwelt : qu'est-ce qu'une fonction localement convexe ? Si c'est une fonction telle qu'en tout point il existe un voisinage telle qu'elle soit convexe sur ce voisinage, alors il me semble bien qu'elle est convexe globalement, non ?

Cordialement.

[edpiste]

Mea culpa, je n'ai pas formulé les choses assez précisément. Voici un énoncé plus clair :

Soit G le graphe d'une fonction convexe (au sens large) et A un point de ce graphe. Je dis qu'une droite D passant par A est tangente au graphe G si l'une des deux conditions suivantes est satisfaite :

ou bien il existe un voisinage V de A tel que V inter G = V inter D (le graphe est un segment de droite dans le voisinage V)

ou bien il existe un voisinage V de A tel que V inter G ne se trouve que d'un seul côté de D (le graphe est d'un seul côté de D dans le voisinage V).

Avec cette définition, l'ensemble des tangentes au graphe de f(x)=|x| en l'origine est formé de toutes les droites passant par l'origine et formant avec l'axe des abscisses un angle compris entre - 5pi/4 et pi/4.

Mon problème est de décider si un critère géométrique simple (sans utiliser de limite) peut servir de définition de la tangente à une courbe non convexe (qu'on pourra supposer aussi régulière qu'on le souhaite dans un premier temps).

[edpiste]

Dernier commentaire : j'accepte la critique selon laquelle écrire "il existe un voisinage V tel que..." (qu'on peut aussi remplacer par "il existe un disque V de centre A tel que..." pour éviter le vocabulaire de la topologie) a un parfum de passage à la limite. Cependant, je soutiens que la définition ci-dessus est purement géométrique dans la mesure où on n'a pas besoin de définir ce qu'est une limite ou un ouvert pour la comprendre. D'où mon envie de la généraliser...

[invité576543]

J'ai de gros doute sur une possibilité de généraliser.

Je n'ai pas le temps de trouver un exemple, mais j'imagine qu'il existe une fonction genre f(x)sin(1/x) en dehors de 0, 0 en 0, f(x)>0 sauf en 0, et f(x) "écrasant" les oscillations, et qui présenterait une tangente y=0 en 0, sans qu'on puisse trouver un seul voisinage où la courbe ne croise pas la tangente... x^4sin(1/x) peut-être...

Cordialement,

[edpiste]

J'ai de gros doute sur une possibilité de généraliser.

Je n'ai pas le temps de trouver un exemple, mais j'imagine qu'il existe une fonction genre f(x)sin(1/x) en dehors de 0, 0 en 0, f(x)>0 sauf en 0, et f(x) "écrasant" les oscillations, et qui présenterait une tangente y=0 en 0, sans qu'on puisse trouver un seul voisinage où la courbe ne croise pas la tangente... x^4sin(1/x) peut-être...

Cordialement,

Je suis bien d'accord qu'on peut trouver des fonctions f dont la courbure change de signe une infinité de fois au voisinage d'un point.
En fait, il suffit de prendre la fonction f(x)=x^3 pour se rendre compte que la définition "ne croise pas la tangente" est bonne pour les orties.
Mais ce n'était pas l'objet de ma question.
Je reformule autrement : y a-t-il un moyen plus "géométrique" (sans passage à la limite) de définir la tangente à une courbe comme celle de f(x)=x^3 ?

[martini_bird]

Salut,

je ne pense pas que ça réponde vraiment à ta question, mais sur l'algèbre des polynômes on peut définir une dérivation formelle (donc sans passage à la limite, à l'aide des formules usuelles) qui permette d'écrire l'équation de la tangente en un point.

C'était la remarque inutile du jour...

Cordialement.

[invite8b04eba7]

je ne pense pas que ça réponde vraiment à ta question, mais sur l'algèbre des polynômes on peut définir une dérivation formelle (donc sans passage à la limite, à l'aide des formules usuelles) qui permette d'écrire l'équation de la tangente en un point.

Ca me fait penser qu'il existe des moyens algébriques de définir une dérivation, en rajoutant un élément qui vérifie . Ca permet de passer d'un groupe de Lie à son algèbre par exemple sans passer par des notions de limites (c'est ce qui est fait dans le lecture notes de Serre sur le sujet). D'ailleurs je crois que son utilisation est beaucoup plus profonde que ça mais je ne saurais pas en dire plus

[martini_bird]

Ca me fait penser qu'il existe des moyens algébriques de définir une dérivation, en rajoutant un élément qui vérifie . Ca permet de passer d'un groupe de Lie à son algèbre par exemple sans passer par des notions de limites (c'est ce qui est fait dans le lecture notes de Serre sur le sujet). D'ailleurs je crois que son utilisation est beaucoup plus profonde que ça mais je ne saurais pas en dire plus

Oui en effet, dans le livre de Perrin, il y a le même procédé pour définir l'espace tangent à une variété algébrique. Le principe est relativement simple : on introduit un nilpotent tel que et grosso modo on écrit le développement limité fini et exact .

Le problème c'est que les anneaux locaux ne sont donc plus intègres et c'est la notion de schéma qui vient remplacer celle de variété algébrique.

Bon, c'est un peu vague, je n'ai pas mes bouquins sous la main...

[edpiste]

Merci pour ces commentaires. Ca m'a fait pensé qu'en géométrie différentielle, on peut voir l'espace tangent d'une variété M au point m comme l'ensemble de formes linéaires sur l'espace C^\infty(M) vérifiant la règle de Leibnitz, c'est-à-dire une forme linéaire T est un vecteur tangent si on a
T(fg)=f(m)T(g)+g(m)T(f).
Le problème, c'est que pour parler de C^\infty(M), on a besoin de cartes locales et de la notion de fonctions de classe C^\infty dans R pour parler de régularité des changements de carte.
Cette construction est donc circulaire dans le cas qui m'intéresse, sauf à savoir définir C^infty(G) d'une autre manière quand G est un graphe....

Un dernier mot sur le pourquoi de ma question : il s'agit du théorème des accroissements finis, version géométrique (pour toute sécante à un graphe, il existe une tangente qui lui est parrallèle). Il me semble que cet énoncé devrait être vrai pour une classe plus générale que celle des graphes de fonctions différentiables (notamment pour des courbes lipschitziennes ou avec des cusps)...et donc il devrait exister une preuve purement géométrique (sans passer par le lemme de Rolle, lequel repose sur un résultat de compacité, bref un bien trop gros programme pour un élève de terminale).

[edpiste]

Si vous avez des références plus précises sur les livres de Perrin et Serres, je suis preneur, merci.

[edpiste]

cet énoncé devrait être vrai pour une classe plus générale que celle des graphes de fonctions différentiables (notamment pour des courbes lipschitziennes ou avec des cusps)

En y réfléchissant une deuxième fois, je viens de me rendre compte que le cadre optimal est celui des fonctions absolument continues (cf thèorème fondamental de l'analyse dans le Rudin)...

hmmm...donc Radon-Nikodym...donc dérivée de mesure...donc rapport longueur d'arc à longueur d'un segment. Il y a peut être un truc à chercher par là. Je reviens si j'ai du nouveau...

[invite8b04eba7]

Si vous avez des références plus précises sur les livres de Perrin et Serre, je suis preneur, merci.

Le livre de Perrin ça doit être Géométrie algébrique et celui de Serre Lie groupes and Lie algebras.

[invite8b04eba7]

Ca me fait penser qu'il existe des moyens algébriques de définir une dérivation, en rajoutant un élément qui vérifie .

C'est comme l'a écrit martini_bird.

[martini_bird]

Le livre de Perrin ça doit être Géométrie algébrique

Oui, c'est bien ça. Je suis de retour à la maison donc : pages 104 et suivantes.

Cordialement.

[edpiste]

merci martini_bird et doudache

[edpiste]

Je reformule autrement : y a-t-il un moyen plus "géométrique" (sans passage à la limite) de définir la tangente à une courbe comme celle de f(x)=x^3 ?

Bon, j'ai un peu avancé sur mon problème. Voici un truc qui marche je crois pour une courbe à un point d'inflexion :

soit G le graphe d'une fonction f passant par l'origine, l'origine étant son unique point d'inflexion.
On note G- (resp G+) l'intersection de G et du demiplan x<0 (resp x>0). Soit D une droite passant par l'origine. On note s la symétrie d'axe D.
D est tangente à G si G- union s(G+) est d'un seul côté de D et si de même G+ union s(G-) est d'un seul côté de D.

[edpiste]

Voici une définition propre équivalente (que je dois à mon collègue O.G.) de la tangente à une fonction régulière en un point d'inflexion :

Soit donc y=f(x) l'équation d'une courbe régulière, convexe sur (-oo,0) et concave sur (0,+oo).
On regarde la famille des couples de droites orthogonales se coupant au point d'abscisse 0. Le couple (tangente, normale) est le seul couple qui partage le plan en 4 parties dont deux seulement contiennent la courbe. Dans ce couple de deux droites, on distingue la tangente de la normale en remarquant que la 1/2 symétrique de la courbe par rapport à la tangente est convexe (ce qui n'est pas vrai pour la normale).

[inviteb47fe896]

Pour cette question il faut se rapprocher de la signification géométrique de la dérivée ; alors on se rend compte qu'il est impossible d'éviter la notion de "limite" ; l'interprétation géométrique du théorème de Rolle est évidente, il reste, pour l'établir rationnellement, à utiliser la continuité de la fonction dérivée pour montrer qu'entre les points extrêmes de l'arc la "pente" de la tangente en un point de cet arc est égale à celle de la sécante.

[edpiste]

on se rend compte qu'il est impossible d'éviter la notion de "limite" ;

Je suis d'accord que pour le cas d'une fonction quelconque, il est peu probable de trouver une définition de la dérivée sans passage à la limite. Par contre, avec des hypothèses supplémentaires, par exemple f convexe, on peut tout à fait se passer de la notion de limite. C'est d'ailleurs le propos de toute une branche des maths, l'analyse convexe.

l'interprétation géométrique du théorème de Rolle est évidente, il reste, pour l'établir rationnellement, à utiliser la continuité de la fonction dérivée pour montrer qu'entre les points extrêmes de l'arc la "pente" de la tangente en un point de cet arc est égale à celle de la sécante.

Je ne suis pas d'accord non plus. D'une part on n'a pas besoin de supposer que f' est continue, juste qu'elle existe. D'autre part, le point crucial de la démonstration classique du lemme de Rolle repose sur un argument de compacité : la fonction atteint un max ou un min quelquepart.

[inviteb47fe896]

Tout se ramène donc à la définition de la tangente ; suffit-il que deux courbes continues n'aient qu'un point commun ( dans un certain voisinage à préciser ) ? Et la convexité ne comporte-t-elle pas un court-circuit qui dispenserait du passage à la limite ? L'axiomatique du plan contient implicitement toutes les ingrédients de la topologie et donc de la compacité ; alors comment faire de la géométrie en excluant certains de ses piliers ?

[inviteb47fe896]

[Je ne suis pas d'accord non plus. D'une part on n'a pas besoin de supposer que f' est continue, juste qu'elle existe. D'autre part, le point crucial de la démonstration classique du lemme de Rolle repose sur un argument de compacité : la fonction atteint un max ou un min quelquepart.[/QUOTE]
Oui mais, sur un compact, la fonction atteint un maximum ou un minimum à condition qu'elle soit continue ; en l'occurence il s'agit de la fonction dérivée.

[edpiste]

si une fonction est dérivable, elle est continue : on cherche un point de max de f, pas de f' !

[inviteb47fe896]

Effectivement le théorème de Rolle n'impose pas à la dérivée d'être continue mais seulement d'exister ; cependant la fonction concernée doit prendre les mêmes valeurs aux bornes de l'intervalle.

[inviteb47fe896]

Si la fonction f ne prend pas les mêmes valeurs aux bornes de l'intervalle alors, en supposant que celui-ci est [a ,b] , on remplace f par g définie comme suit :
g(t) = f(t) - [f(a) - f(b)]/(b-a) x (t-a) cette dernière fonction est dérivable et prend les mêmes valeurs en a et b.

[invite35452583]

Bonjour,

Il me semble que la dérivée en un point A est la droite passant par A qui minimise, du moins localement, globalement la distance des points du graphe à la droite*.
Il doit y avoir certaines classes pour lesquelles localement doit être plus manipulables (pour les convexes il me semble que le résultat est vrai globalement du moment que le domaine de définition soit borné)
Ceci est une vision plus globale mais chasse la limite par la porte pour la faire rentrer par la fenêtre (l'intégrale implicite ci-dessus je ne sais pas si on peut la définir sans recours à la limite) mais peut-être y a-til moyen d'améliorer.

* : évident si on prend les distances dans le sens dans la direction de (Oy). Or il y a proportionnalité entre les distances pour deux directions distinctes (argument certes évident mais qui m'avait échappé au début)

Cordialement

[invite35452583]

Effectivement le théorème de Rolle n'impose pas à la dérivée d'être continue mais seulement d'exister ; cependant la fonction concernée doit prendre les mêmes valeurs aux bornes de l'intervalle.

il y a confusion de théorèmes, non ?