norme triple

[invitefa636c3d]

bonjour à tous;

voila: je connais la définition de la norme subordonnée(avec le sup...) et la méthode pour la calculer mais à quoi elle sert vraiment?

on m'a dit qu'on l'utilisait en analyse fonctionnelle oû l'etude du dual topologique est centrale...

si vous avez des précisions sur cette norme triple ainsi que sur le dual topologique ,ça m'intéresse ...

merci
jameso
@+
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[invite9e95248d]

salut
la norme triple, c'est en fait la norme d'un opérateur

|||T(f(x))|||=sup ||f(x)|| avec ||x||=1
j'ai mis une des définitions possibles de la norme triple mais y en a d'autre. Elle donne une norme pour des objets qui sont définis d'un espace de fonctions dans un autre. Comme la transformée de fourier par exemple

[doryphore]

Les espaces fonctionnels sont des espaces où les vecteurs sont des fonctions. Comme pour tout espace vectoriel, on peut le munir d'une norme qui va servir à mesurer la distance entre deux fonctions.

On disposera ainsi d'un moyen quantitatif pour exprimer par exemple qu'une suite de polynome s'approche d'une fonction.
La norme triple ou norme subordonnée est une norme sur un espace de fonctions qui est construite à partir de la norme sur les vecteurs qui sont dans l'espace de départ de tes fonctions.

Le dual d'un espace X est tout simplement l'ensemble des applications linéaires de X sur K (K=R ou C)

[invitefa636c3d]

salut, merci pour vos réponses

doryphore: fais tu une différence entre le dual topologique et le dual algébrique (en dimension infinie bien sûr)

merci
jameso

[A voir en vidéo sur Futura]

[doryphore]

C'est déjà vieux tout ça: les applications linéaires et continues...

[invite51f4efbf]

Le dual topologique, c'est l'ensemble des formes linéaires continues (bornées pour la norme d'opérateur), et il est différent du dual topologique. Pour une forme linéaire continue, on a l'équivalence entre continuité, continuité uniforme, et forme bornée.

La norme subordonnée sert pour plusieurs choses. Ca fait un bail que je n'ai plus fait de numérique, mais ça permet entre autres de démontrer qu'une méthode itérative converge si, et seulement si, le rayon spectral de la matrice de la méthode est au plus 1. Ca se fait - de mémoire, il faut que je vérifie - en reliant le rayon spectral à une norme matricielle subordonnée particulière, via le théorème de Jordan.

Sinon, on peut citer l'une des formes du théorème de Hahn-Banach, qui s'exprime grâce à la norme subordonnée : soit un espace normé, son dual topologique, la norme subordonnée sur le dual, F un sous-espace de E, et une application linéaire bornée, c'est à dire



Alors il existe un élément tel que



En d'autre termes, on peut prolonger f à une forme linéaire continue sur l'espace entier. Ca peut paraître anodin, mais ça ne l'est pas : ça nécessite entre autres l'axiome du choix, et ça permet de montrer quantité de résutats, par exemple d'exhiber l'injection canonique d'un espace normé dans son bidual.

Amicalement,
Stephen

[invitefa636c3d]

merci à tous pour vos réponses.

juste une dernière précision : quelle est la définition exacte d'un opérateur?
j'ai cherché sur le net mais je ne trouve pas tout à fait la même définition à chaque fois;
j'aimerai bien y voir un peu plus clair

merci pour votre aide toujours précieuse;
jameso

[invitefa636c3d]

bonjour,

en "m'acharnant" sur la norme triple j'ai trouvé dans un livre l'explication suivante:
(on considère un opérateur linéaire f d'un evn X dans un evn Y)

" f transforme la boule unité fermée de X en un sous ensemble de la boule fermée de Y de centre 0 et de rayon //f//(norme de f)"


j'aurai aimé savoir ce que vous en pensez...
merci
jameso

[doryphore]

Je pense qu'opérateur est un terme que les mathématiciens qui ont construit l'analyse fonctionnelle ont utilisé pour éviter de parler d'applications d'un ensemble d'applications dans un autre ensemble d'applications. Mais c'est rigoureusement la même chose.

[inviteca3a9be7]

Les principaux intérêts de la "norme triple" sont que :

- ||| u o v ||| <= ||| u ||| * ||| v |||, c'est dont une norme d'algèbre, c'est souvent pratique.

- si F est un Banach, L(E,F) muni de cette norme est aussi un Banach, ça c'est vraiment fondamental.


En dimension finie, dual topologie (formes C°) et dual "linéaire" sont confondus. C'est polka en dimension infinie : il y a des formes linéaires pas continues.


J'ai toujours cru qu'un opérateur était une endomorphisme continu.


Quant au dernier point, c'est évident, non ?, vu que l'on a || u(x) || <= ||| u ||| * ||x||


HTH.

[doryphore]

Opérateur linéaire : synonyme de . Endomorphisme continu d'un espace vectoriel normé

Effectivement.