[Gr. de Lie] 3e théorème de Lie

[Sephi]

Bonjour,

Je cherche à montrer que les orbites de l'action de (muni de la métrique de Killing ) sur son algèbre de Lie définie par :

sont les sphères dans lorsqu'on identifie su(2) à (la métrique correspond alors au simple produit scalaire euclidien).

Ayant déjà montré que préservait la métrique , je pars maintenant de :

que je réécris :

C'est un homomorphisme. Je dois maintenant calculer sa différentielle et uiliser le 3e théorème de Lie pour démontrer en réalité que l'on a :

ce qui achève de montrer que les orbites de sont des sphères dans .



Sauf que ... je coince sur cette dernière étape ! Donc si vous avez des indices, des conseils, des pistes ...
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[invite8f53295a]

Montrer que SU(2) est connexe ? Ou est-ce que c'est le résultat auquel on veut arriver ?

[invite8f53295a]

En même temps, je ne vois pas pourquoi cela montre que les orbites sont des sphères (tel que tu l'as écrit). A mon avis, ce qu'il faut montrer c'est que SO(3) est contenu dans l'image de Ad, et cela se déduit (sachant que SO(3)) est connexe, de la surjectivité de la différentielle de Ad. C'est le calcul de la différentielle qui te pose problème ? A quel endroit ?

[Sephi]

Ben justement, je ne sais pas trop par où aborder le calcul de la différentielle. Mon prof m'a donné quelques éléments théoriques, mais je ne vois pas trop comment les utiliser.

Les éléments dont je dispose (le but de l'ensemble étant de comprendre un article) pour l'instant, ce sont des liens entre les champs de vecteurs invariants (à gauche/droite) et l'algèbre de Lie, ainsi que le calcul de la différentielle d'une sorte de conjugaison (l'expression de la différentielle étant alors exprimée à l'aide des champs de vecteurs).

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Donc : disons G un groupe de Lie, LieG sont algèbre de Lie. J'ai pu montrer que pour l'action :

la différentielle au neutre est donnée en général par :

où et sont les champs de vecteurs à gauche et à droite engendrés par .
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Ce qui précède, c'est ce dont je dispose a priori. Pour calculer la différentielle dans le cas présent, j'ai tenté de partir de l'expression (1). Le problème, c'est que dans (1), on considère une action d'un groupe sur lui-même, alors que dans mon problème, il s'agit d'une action d'un groupe sur son algèbre de Lie ... Du coup, tout tombe à l'eau T.T

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f53295a]

Ben justement, je ne sais pas trop par où aborder le calcul de la différentielle. Mon prof m'a donné quelques éléments théoriques, mais je ne vois pas trop comment les utiliser.

Les éléments dont je dispose (le but de l'ensemble étant de comprendre un article) pour l'instant, ce sont des liens entre les champs de vecteurs invariants (à gauche/droite) et l'algèbre de Lie, ainsi que le calcul de la différentielle d'une sorte de conjugaison (l'expression de la différentielle étant alors exprimée à l'aide des champs de vecteurs).

Bon alors s'il s'agit juste de comprendre un article et pas la théorie générale des groupes de Lie, je te conseille de tirer parti du fait que tes groupes sont plongés dans un espace affine (ici M_2(C)), ça te permet de faire des développements limités pour calculer tes différentielles, c'est plus simple (en fait même pour la théorie générale il vaut mieux faire comme ça au début).

Tu as un morphisme Ad : SU(2) -> Aut(su_2) qui est différentiable, mais pour parler différentiabilité au sens usuel, il faut que la fonction soit définie sur un ouvert.
On peut généraliser un peu les choses, si on note Ad(g) l'automorphisme de M_2(C) défini, pour g dans GL_2(C) par h-> ghg^(-1), la nouvelle fonction Ad est bien définie sur l'ouvert GL_2(C) (ouvert de M_2(C)) et est différentiable. Ce qui t'intéresse, c'est sa restriction au sous-groupe fermé SU(2), l'image de SU(2) sera alors contenue dans Aut(su_2), et donc l'espace tangent en e à SU(2) sera envoyé par la différentielle de Ad dans l'espace tangent en e à Aut(su_2), c'est-à-dire End(su_2). Tout cela pour dire que l'on peut faire le calcul pour g dans GL_2(C) et on est ramené au calcul différentiel sur un ouvert de M_2(C), ce qui est nettement plus sympa.
Il faut calculer la différentielle de Ad en e, c'est à dire
Ad(e+tX)=Ad(e)+tdAd(e).X+o(t) quand t tend vers 0.

Evaluons donc Ad(e+tX) en une matrice h de M_2(C)




En identifiant les termes on trouve
dAd(e).X est l'application linéaire qui à h associe Xh-hX.

On peut bien vérifier que si X appartient à l'espace tangent à SU(2) (c'est su_2), dAd(e).X est dans l'espace tangent à Aut(su_2), c'est-à-dire End(su_2), ce qui revient à dire que si X et h sont dans su_2, Xh-hX l'est aussi.
La quantité Xh-hX est notée [X,h], on note aussi ad la différentielle de Ad, le résultat se réécrit donc
ad(X,h)=[X,h]=Xh-hX.

Voilà, tu as ta différentielle !

[Sephi]

Ah tiens, la différentielle de Ad n'est autre que le crochet ... Grand merci pour cette révélation.

SO(3) est contenu dans l'image de Ad, et cela se déduit (sachant que SO(3)) est connexe, de la surjectivité de la différentielle de Ad.

Pourquoi ?

Puis-je reformuler cette phrase comme suit :

ad est surjectif => La composante connexe de O(3) appartient à l'image Ad(SU(2)) ?

En supposant que cela est vrai, on aurait donc l'expression de la différentielle, et le fait que SO(3) connexe appartient à l'image de SU(2) par Ad.

Dans ce cas, pour tout g de SU(2), Ad(g) est dans SO(3), ce qui achève de montrer que les orbites de Ad(g) sont des sphères.



Mais alors il me semble qu'on n'a pas utilisé le théorème de Lie ...

[invite8f53295a]

Ah tiens, la différentielle de Ad n'est autre que le crochet ... Grand merci pour cette révélation.

En l'élément neutre quand même.

Pourquoi ?

C'est vrai que ce n'est pas immédiat quand même. On sait que si en un point, une application différentiable a sa différentielle surjective, alors elle est ouverte en ce point. Donc l'image de SU(2) contient un voisinage de l'identité dans O(3), comme cette image est un groupe, on voit en translatant ce petit voisinage que l'image entière est ouverte. Mais on sait aussi qu'un sous-groupe topologique ouvert d'un groupe topologique est également fermé (on peut dans notre cas aussi dire que SU(2) est compact donc son image est fermée), donc l'image est ouverte et fermée et contient donc la composante connexe de l'identité, c'est-à-dire SO(3).

Puis-je reformuler cette phrase comme suit :

ad est surjectif => La composante connexe de O(3) appartient à l'image Ad(SU(2)) ?

Oui, le => contient ce que je viens d'expliquer au dessus.

Dans ce cas, pour tout g de SU(2), Ad(g) est dans SO(3), ce qui achève de montrer que les orbites de Ad(g) sont des sphères.

Là je dirais plutôt : tout élément de SO(3) est de la forme Ad(g) pour un g dans SU(2) donc...

Mais alors il me semble qu'on n'a pas utilisé le théorème de Lie ...

Qu'entends-tu exactement par théorème de Lie ?

Remarque : comme SU(2) est connexe son image est contenue dans SO(3), donc finalement on a exactement Ad(SU(2))=SO(3).

[Sephi]

Le 3e théorème de Lie tel que je l'ai noté dans mes notes :

Théorème : Soit (, [ , ]) une algèbre de Lie de dimension finie. Alors il existe un groupe de Lie G tel que T_eG=. De plus, si G est connexe et simplement connexe, alors G est unique à un isomorphisme de groupe près.

[invite8f53295a]

Je t'avoue que je ne vois pas trop comment l'utiliser ici. C'est un théorème d'existence, et ici tout existe déjà : les groupes, le morphisme etc. On a juste à montrer qu'il possède certaines propriétés (ce qui se fait en calculant sa différentielle).

[Sephi]

En tout cas, un grand merci pour ton aide Peut-être que dans le théorème de Lie, c'est l'aspect "unique" du groupe sous-jacent qui est utile... Enfin