Dérivée de Lie

[Sephi]

Bonjour,

J'ai une question en géométrie différentielle.

Soit et deux champs de vecteurs sur une variété .

Qu'est-ce que la dérivée de Lie, suivant , du champ ? Est-ce une opération qui exprime, en quelque sorte, la variation (relative) du champ (considéré un peu comme un flot sur ) suivant la direction du flot de ?
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[GrisBleu]

Salut

J ai pose une question sur cette derivee en physique, des gens assez cales ont apporte des precisions a me connaissance. Je leur emprunte leurs remarques. De plus j ai etudie ca tout seul, donc il est hautement possible que je ne te fasse pas une explication parfaite

Sur ta variete , tu ne peux pas passer de l espace tangent a un point a l espace tangent a un autre point de maniere canonique (en general) meme si ces points sont proches. Hors une derivee c est une comparaison d un tenseur avec ce meme tenseur pas trop "loin". tu veux donc comparer deux choses qui ne sont pas dans le meme espace.

Il te faut donc des outils pour "ramener" les tenseurs que tu compares au meme point. Si tu as une metrique (en relativite par exemple) tu peux definir une connection (ca peut se faire sans metrique aussi) qui te permet de le faire. C est la base de la derivee covariante

Il y a d autres methodes pour "ramener" et comparer des tenseurs. La derivee de Lie d un tenseurs suivant le vecteur utilise le fait que te definit un flot . Ce flot est dun diffeomorphisme de sur .
Par exemple prend un point , a partir de , ce flot te definit un chemin dans : . pour un donne, tu peux ramener des tenseurs de l espace tangent a l espace tangent a par l application pull back . En particulier ton vecteur ; Tu peux donc faire la difference : . Divide par et fait tendre vers 0. Ca ressemble beaucoup a ce que tu souhaite d une derivee. Ce sera la derivee de Lie de selon en .


Bon c est surement pas clair (n est pas prof qui veut). Essaie le poly de geometrie differentielle de Thierry Masson : http://www.sciences.ch/dwnldbl/mathe...erentielle.pdf

[GuYem]

Je ne connais pas la dérivée de Lie mais je travaille en ce moment pas mal sur les connections sur des variétés métriques. Ce que t'as dit là Wlad me parait bien correct pour une déifniotn de la dérivée de Lie
.
Ce qui me gène c'est que t'appelles les X et les Y des "tenseurs". Perso j'appele ça des champs de vecteurs (vector field).
Est-ce qu'on parle de la même chose?

[Sephi]

Un vecteur, c'est un tenseur d'ordre 1, donc parler de tenseur, c'est se placer dans un cadre plus général. Ceci dit, la dérivée de Lie est définie sur un champ de vecteurs, parce que bon, il y a alors la notion de flot associée, et celle-ci est utilisée dans la définition de la dérivée elle-même.

Sinon on parle aussi de formes différentielles (de degré k), qui sont des tenseurs k-linéaires antisymétriques définis sur un produit de k espaces tangents à la variété. On parle alors de dérivée de Lie d'une forme différentielle.

Donc dans tous les cas, le tenseur généralise tout ça.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

D'accord ça m'a fait peur à un moment donné.
En fait j'(ai jamais vu clairement en cours les définitions des tenseurs et compagnie et pourtant j'en vois passer de partout, c'est un peu ennuyeux.
Apparement le tenseur est cahcé partout derrière les trucs simples!

[GrisBleu]

Salut

Comme je l ai deja dit, je ne suis pas un grand specialiste de la chose. Au forum physique y a des gens plus cales .

Mais pour les histoires de tenseurs et de vecteurs, comme le dit Sephi, un vecteur est un tenseur particulier.
La derivee de Lie selon un vecteur peut etre appliquee a un tenseur quelconque (Y a peut etre plus general, mais jusqu a present je n ai vu que ca).

Pou le definition de tenseur, il y a pleins de polycopies dessus qui trainent sur le net. En gros, si tu as un espace vectoreil et son dual , un tenseur d ordre c est une forme multi lineaire sur . Par exemple une metrique, ca prend en arguments deux vecteurs et ca te donne un nombre, c est donc un tenseur d ordre (0,2). Comme (egalite en dimension finie je crois), un vecteur est un tenseur (1,0) et une forme (membre de ) est un tenseur (0,1).

Bon a priori c est ca, mais comme c est court, regarde http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019 , mon livre de chevet en ce moment. C est de la physique, mais c est pas mal presente.


@+
A plus

[GuYem]

Merci du tuyau Wlad. Tu fais tes études à Tokyo??

[GrisBleu]

Salut GuYem

je ne sais pas si je peux coller ca ici ? moderateurs soyez sympas si ce n etait pas le lieu
Oui je finis en 2 ans mes etudes d ingenieur ici (TiTech c est le nom de la fac http://www.titech.ac.jp/home.html) . A la fin j aurai le diplome de la fac japonaise et celui de mon ecole en france, c est pratique.

si tu veux continuer a causer je pense que le mail conviendrait mieux #########

@+

PS : GuyHÔm c est toi dans Spank ?

Prière d'utiliser les MP pour un échange de coordonnées privées.

Pour la modération,
martini_bird.

[GuYem]

Woah la chance! J'aimerais bien sortir de France u peu aussi

J'ai regardé un peu les tenseurs et en fait c'est pas monstrueux. J'ai été obligé d'y passer pour étudier la courbure sur une variété.
je prends le mail.


PS moi c'est Yugga dans SPANK

[invite52487760]

Bonsoir,
C'est quoi un flot , et il sert à quoi en géométrie différentielle ?
Merci d'avance.

[KilyBurny]

Bonjour,

c'est une application : RxM -> M, (t,p) |-> q avec certaines propiétés
(action de (R,+) sur M, difféom pour chaque t)
En fixant p on obtient une courbe passant par p, paramétrisée par t, en prenant
la dérivée de cette courbe en p on obtient le vecteur X(p). Intuitivement si tu
prends t comme un temps le flot décrit un fluide s'écoulant sur la variété qui
aurait le champ X comme champ de vitesse.
L'étoile c'est pour le pull back.

La dérivée de Lie de deux champs vectoriels donne un nouveau champ vectoriels.