Topologie et topologie metrique induite

[JPouille]

Salut,
Je ne suis vraiment pas specialiste de topologie alors excusez ma question naive. Mettons que j'ai un espace E. Mettons qu'il ait la topologie de R^2. Je muni alors cet espace d'une metrique (peut importe laquelle). La topologie induite par la metrique est elle alors necessairement la meme que celle initiale (R^2 ici)?

Mon probleme est en fait le suivant (en lien avec la relativite generale) : je me donne un espace-temps (pour simplifier de dimension 2), ie une variete diff M. Mettons que M a la topologie de R^2. Maintenant je me donne une metrique (pseudo-euclidienne) sur M.

alors question 1. (subsidiaire) : peut on parler de topologie induite sur M par cette metrique? (sachant que cette metrique etant pseudo-Euclidienne, la distance naturellement associee n'est pas definie positive)

et question 2. Je peux definir en tout point de M le "cone de lumiere" defini par la metrique en ce point, c'est a-dire les courbes ds^2=0. Je defini les courbes de type temps sur M comme etant celles dont le vecteur tangent est de type temps en tout point, c'est a dire de norme negative [je choisis la signature de la metrique comme etant -+]. Ce sont les courbes de M qui sont interieures au cone de lumiere en tout point.

Pour l'instant je n'ai rien demande de particulier a ma metrique. Si je la suppose constante, il existe des coordonnes ou elle s'ecrit diag(-1,+1), ie je suis en train de parler de l'espace de Minkowski (en 2D).

Et voila le lien avec la topologie. Il est possible que les cones de lumiere soient disposes dans le plan de telle facon que les courbes de type temps soit fermees. Mettons qu'elles soient toutes fermees. Ai-je le droit de dire, comme l'intuition le laisse a penser, que meme si mon espace initial a la topologie de R^2, la topologie induite par cette metrique est en gros qqch comme Cercle*R ??

[Visualisation : sur un tableau, dessinez des cercles concentriques, et demandez que les cones de lumieres soient orientes le long de ces cercles. Le tableau lui meme a bien la topologie de R2, mais clairement la metrique induit un feuilletage de l'espace de type cercle*R].

Je ne sais pas si c'est tres clair [sans compter le vocabulaire de physicien...]

Merci,
Jp
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[inviteae1ed006]

Bonjour,
en ce qui concerne la question topologique, si j'ai bien compris tu veux savoir si la topologie induite par une métrique sur est la même que la topologie usuelle de .
Si c'est bien cela ta question, alors la réponses est : non pas forcément, par exemple avec la distance discrète (elle vaut 1 entre des éléments distincts et 0 sinon), la distance induite par cette distance est très différente de la distance usuelle sur

En espérant avoir répondu à ta question.