intersection 2 droites dans l'espace

[invite57e4f988]

Bonjour,

JE suis face à un problème de triangulation et je m'arrache les cheveux :

1 point physique MX,Y,Z) est perçu par 2 caméras et pour simplifer, chacune parallèle à un plan principal d'un repère orthonormal (donc chaque caméra est à X0i,Y0i,Z0i de ce repère). [à 90° entre elle donc].

Ce point M est projeté linéairement sur le capteur de la caméra en visant le point focal(Fi) de chaque caméra. [cf figure...]. Il s'agit du Modèle Sténopé.

Par la suite, (u,v) : point centré sur le capteur de la caméra. [en réalité, [(u-u0)/fk , (v-v0)/fk]... pour les connaisseurs]

On peut donc déterminer 2 eq de droite qui se croisent en X,Y,Z (M).soit les équations de (Fi_M).
On peut aussi écrire que ces droites sont (Fi_Mprojeté).

Cela donne pour Caméra1 parallèle à (X0Y) et F1_Caméra1 dans l'axe Z : X01+(v1)*X+Y01+(u1)*Y+Z01+f*Z= 0

demême pour Caméra face à (X0Z) : X02+(v2)*X+Y02+f*Y-Z02+u2*Z=0

Cela donne 2 eq pour 3 inconnus... or je sais qu'il n'existe qu'une et une seule solution... qu'est-ce qui me manque pour résoudre?
Merci d'avance!
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[invite9cf21bce]

Salut !

Cela donne pour Caméra1 parallèle à (X0Y) et F1_Caméra1 dans l'axe Z : X01+(v1)*X+Y01+(u1)*Y+Z01+f*Z= 0

demême pour Caméra face à (X0Z) : X02+(v2)*X+Y02+f*Y-Z02+u2*Z=0

Ce sont des équations de plans. Si tu veux vraiment des équations cartésiennes il faut deux équations de plan par droite.

On obtient un système de quatre équations à trois inconnues. Mathématiquement, il n'a pas de solution en général (les deux droites "se ratent"). Mais si c'est le même point qui est repéré dans l'image cam1 et dans l'image cam2, les deux droites s'intersectent et on trouve bien une solution unique.

Taar.

[invite57e4f988]

Euh, j'vais demandé qq chose de simple mais comment on obtient ces équations de droites si l'on ne connait que les 2 points de passages?

[Jean_Luc]

Euh, j'vais demandé qq chose de simple mais comment on obtient ces équations de droites si l'on ne connait que les 2 points de passages?

Salut,

Tu peux créer une équation de droite passant par P1 et P2 en intégrant un paramètre t:



Pour calculer l'intersection de deux droites, tu développes l'équation vectorielle et normalement tu devrais tomber sur un système de 3 équations à 2 inconnus (t1 et t2).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9cf21bce]

Euh, j'vais demandé qq chose de simple mais comment on obtient ces équations de droites si l'on ne connait que les 2 points de passages?

Avec ta figure tu as deux points par droite :
La première droite est la droite (C₁m₁)
La deuxième est la droite (C₂m₂)

Méthode 1. en paramétriques :
C₁(X₀₁,Y₀₁,Z₀₁)
m₁(u₁,v₁,a)
Attention, j'ai pris les coordonnées de m₁ dans le repère de l'espace.
Alors (u₁-X₀₁,v₁-Y₀₁,a-Z₀₁)
Un point M(X,Y,Z) de la droite vérifie
C'est-à-dire :
(X-X₀₁,Y-Y₀₁,Z-Z₀₁)=(u₁-X₀₁,v₁-Y₀₁,a-Z₀₁)
Ou encore :
X=X₀₁+(u₁-X₀₁)
Y=Y₀₁+(v₁-Y₀₁)
Z=Z₀₁+(a-Z₀₁)

De même un point de (C₂m₂) vérifie :
X=X₀₂+(u₂-X₀₂)
Y=Y₀₂+(b-Y₀₁)
Z=Z₀₂+(v₂-Z₀₁)

où on a pris
C₂(X₀₂,Y₀₂,Z₀₂)
m₂(u₂,b,v₂)

Comme l'a dit Jean-Luc, tu n'as plus qu'à égaliser pour trouver et (trois équations, deux inconnues) ; ensuite on trouve X, Y, Z en injectant le trouvé, par exemple, dans les équations paramétriques de la première droite.

Méthode 2. en cartésiennes :
On cherche une paire d'équations pour (C₁m₁).
Elle est l'intersection de deux plans "naturels", à savoir :

• le plan (C₁m₁n1) où n₁(u₁+1,v₁,a)
• le plan (C₁m₁p1) où p₁(u₁,v₁+1,a)

Je te fais grâce des calculs, on trouve comme équations :

• (v₁-Y₀₁)Z-(a-Z₀₁)Y=v₁Z₀₁-aY₀₁ pour le premier plan
• (u₁-X₀₁)Z-(a-Z₀₁)X=u₁Z₀₁-aX₀₁ pour le deuxième plan

Ceci donne un système pour la droite (C₁m₁) (tu pourras contrôler qu'il est vérifié par C₁ et par m₁).

On fait pareil avec la droite (C₂m₂) pour obtenir, au final, le système suivant (4 équations, 3 inconnues) :
(v₁-Y₀₁)Z-(a-Z₀₁)Y=v₁Z₀₁-aY₀₁
(u₁-X₀₁)Z-(a-Z₀₁)X=u₁Z₀₁-aX₀₁
(v₂-Z₀₂)Y-(b-Y₀₂)Z=v₂Y₀₂-bZ₀₂
(u₂-X₀₂)Y-(b-Y₀₂)X=u₂Y₀₂-bX₀₂

Problème :
Aucune de ces deux méthodes ne donnera de résultat parce qu'en pratique, à cause des erreurs de mesure, les droites mathématiques ne se coupent pas ; chaque système sera sans solution.

Adaptation 1 :
Tu triches et tu enlèves une équation (une sur les trois du système "paramétriques", ou bien une sur les quatre du système "cartésiennes").

Adaptation 2 :
Tu cherches le point K de (C₁m₁) le plus proche de (C₂m₂).

Adaptation 3 :
Tu cherches le point K de (C₁m₁) le plus proche de (C₂m₂), le point L de (C₂m₂) le plus proche de (C₁m₁), et tu prends le milieu de [KL].

[invite57e4f988]

Merci pour les équations, ça va me faire gagner du temps!

Pour les adaptations... j'y avait pensé mais pas en aussi court, je vais voir ce qui est mieux dans mon cas. Je pensais dans un premier temps rajouté un paramêtre Epsilon pour l'incertitude ce qui aurait fait une sphère de solutions puis j'aurais pris le barycentre.