calcul de matrices élémentaires

alexlecobra · 19/04/2007 - 14h33

bonjours tout le monde pouvez vous m'aider pour cette petite question,

on définit l'application $\phi_A$ :Mn(R) $\rightarrow$ R
M $\mapsto$ tr(AM)
et $\theta$ :Mn(R) $\rightarrow$ L(Mn(R),R)
A $\mapsto$ $\phi_A$

justifiez que $\exists!A\in Mn(R)$ $\forall$ M $\in Mn(R),\phi_A(M)=tr(AM)$
et $\forall(i,j,k,l)\in[1,...,n]^4, calculer E_i,jE_k,l$

taladris · 19/04/2007 - 16h02

Salut!

Tu as du montrer (question précédente forums.futura-sciences.com/thread140528.html) que $\theta$ est un isomorphisme
ce qui répond à ta première question

Pour la seconde, regarde les cas j=k et $j\neq k$

Cordialement

alexlecobra · 19/04/2007 - 16h26

le fait que ce soit un isomorphisme justifie a lui seul l'unicité?

briocheMC · 19/04/2007 - 16h59

oui carrément:

être un isomorphisme, ca veut dire, entre autres, être bijectif. c'est à dire être à la fois surjectif et injectif (et l'injectivité c'est exactement ça: "pour tout élément dans l'image, il existe un unique antécédant")

ou sinon si tu veux tu peux dire qu'en tant que bijection, tu as l'application inverse $\theta^{-1}$ qui te donne ton A.

briocheMC · 19/04/2007 - 17h07

ah oui un détail!

il faut que tu dises aussi que $\mathcal{L}(\mathrm{M}_{n} ( \mathbf{R}),\mathbf{R})$ c'est exactement l'ensemble des $\phi_{A}$ où $A$ parcourre $\mathrm{M}_{n} ( \mathbf{R} )$

briocheMC · 19/04/2007 - 17h33

sinon pour le calcul de $\mathbf{E}_{i,j} \mathbf{E}_{k,l}$ c'est tout simple:

$\mathbf{E}_{i,j} = \left( \begin{array}{cccccc} 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & & & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \cdots & \cdots & 1 & \cdots & \vdots \\ \vdots & & & \vdots & & \vdots \\ \vdots & & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \end{array} \right)$

(ou le seul 1 de la matrice est en position (i,j). )

et tu fais la multiplication à la main... il va sortir

$\mathbf{E}_{ij} \mathbf{E}_{kl} = \delta_{jk} \mathbf{E}_{il}$

ou $\delta_{jk}$ est le symbole de kronecker et vaut 1 si j=k, et 0 sinon.

en gros
$\mathbf{E}_{ij} \mathbf{E}_{jl} = \mathbf{E}_{il}$
et $\mathbf{E}_{ij} \mathbf{E}_{kl} = 0$ si $j \neq k$