une petite transformée de fourier

[invite176531fd]

Voilà, ca peu sembler bizarre mais je coince sur la transformée de fourier de 1 c a d : intégrale de - infini à + infini de exp ( -2i*pi*x*t)`où x est le paramètre de mon intégrale ...

Si vous pouvez m'aider ... c sympa ... merci
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[martini_bird]

Salut et bienvenue,

vu que 1 n'est pas intégrable sur , c'est un peu normal que tu coinces : ton intégrale diverge !

Cordialement.

[invite176531fd]

merci ... je ne sais pas pourquoi mais je pensais que 1 appartient à L1(R). Sinon en fait mon problème est plus large :

j'ai deux fonctions :

- f(x)= sin(Pi*x)/(Pi*x)
- g(x)= sin(Pi*x) exp(-Pi*x²)

Dans un premier temps je montre que Fourier ( khi [-1/2,1/2]) (x) = sin (Pi*x)/(Pi*x)
`
où khî désigne ma fonction caractéristique, une restriction à -1/2 , 1/2 de mon intégrale en d'autres termes. Cette étape ca va.

A partir de là on me demande de calculer la transformée de f(x).

Comment faire ? Cela a-t-il un sens de faire " fourier de fourier d'une fonction " ? j'imagine qu'il doit y avoir du produit de convolution, vu qu'on nous rappelle en annexe que fourier(f*g)= fourier(f) fois fourier(g) ...

Bref ds le néant ... merci si vous pouvez m'aidez à flairer qqch.

[invite914a6080]

Salut, juste une précision, parcequ'il me semble que c'est là dessus que tu bloques:

Tu peux développer une fonction en série de fourier si elle est T-périodique. 1 pourra être considérée (par exemple comme 2Pi périodique) car 1 sur R peut être définie comme valant 1 sur [-Pi,Pi] et étant 2Pi périodique.

Par ailleurs, l'interet de la développée en série de fourier est d'exprimer une fonction périodique comme une somme de fonctions périodiques. Tes fonction f et g ne sont périodiques si on défini f et g comme tu l'as fait sur R...

[A voir en vidéo sur Futura]

[cherwam07]

Hello

bretus : Tout ce que tu dis est vrai, mais notre ami Leonidas9 ne nous parle pas de série de Fourier, mais de Transformée de Fourier.
On peut voir ca grossièrement comme la même idée de décomposition dans l'espace des fréquences, mais pour des fonctions non-périodiques.

Leonidas9 : Pour calculer la transformée de f(x), je te propose le violent changement de variable : u = -x. Peut-etre reconnaitra-tu alors à peu près une transformée de Fourier inverse de ce que tu viens de calculer...

En esperant ne pas avoir dit trop de bétises...

[invite914a6080]

oups pardon
je sors

[invite176531fd]

bretus ... c pas grave ... c gentil néanmoins d'avoir essayer de m'aider... j'apprécie vraiment.

cherwam 07 : merci bcp pour cette astuce ! je suis novice ds la transformée de fourier, j'ai juste ingurgité le cours, j'aurais sûrement bcp de quest° par la suite.

Merci à ts les 2 !!

[invite176d5ac1]

Salut à tous,

La TF de +1 est définie au sens des distributions et correspond à la fonction de dirac delta très chère à la mécanique quantique : il s'agit d'une fonction identiquement nulle sur R privé de zéro et 'valant' l'infini en zéro. Enfin on définit l'intégrale de la fonction delta comme valant 1.

f(x)= sin(Pi*x)/(Pi*x) : la TF du sinus cardinal est simplement une fonction porte, c'est à dire valant 1 sur un interval (ici -1/2 1/2 si je ne m'abuse) et zéro ailleurs. Tu peux t'en convaincre en calculant la TF de la fonction porte (facile à faire) où en transformant ton sinus en exponentielles dans la TF du sinus cardinal.

g(x)= sin(Pi*x) exp(-Pi*x²) : je pense qu'ici on te demande d'intépreter ton intégral comme le produit de convolution de deux fonctions (en l'occurence celle ci et l'exponentielle de la TF). Ainsi comme tu l'a dit, la TF du produit de convolution est le produit des TF. Il ne te reste plus qu'à calculer la TF d'un sinus (facile en transformant le sinus en exponentielle ou en te souvenant que la TF est la décomposition d'une fonction sur les sinus) et la TF de ta deuxième fonction.

J'espère avoir aidé!