Qu'en pensez vous ?

[invite50625854]

Bonjour à toutes et tous,

Je m’adresse à vous pour quelque remarques. Voilà, mon niveau de math est très médiocre, mais cela ne m’empêche pas de m’amuser avec les maths. Il y a quelque temps je me suis amuser à travailler sur un certain type de fonction. Ce que j’appelle les fonctions fractales (parce que elles sont un emboîtement de fonction identique). Je demande donc votre avis...

Voilà leur forme :



f est alors i fois composée avec elle même.

Si on cherche une solution de , et que comme , en posant , il est possible de calculer Y tel que f(Y)=0, on notera cet ensemble de solution de f(Y)=0, {S1}. On obtient donc un nouveau système à résoudre :
, que l’on peut résoudre de la même manière que vu précédemment, ainsi de proche en proche on parvient à calculer les racines de l’équation.

Avez vous déjà vu les propriétés de ce type fonction, que j’appelle fractale ? Si oui comment s’appelle ce type de fonction et ou pourrais je trouver des infos ?

Ensuite, j’ai remarqué qu’il m’était alors possible de calculer les racines exactes d’un certain nombres de polynôme.
En posant , on obtient pour
Soit :


Ainsi, le groupe des polynômes d’ordre 4, ayant des valeurs de coefficient étant issue de la transformation des (a,b,c), (c’est à dire les polynômes d’ordre 4 étant la composée d’un polynôme d’ordre 2 avec lui même) trouve des racines exactes.

On pourrait montrer qu’il existe une classes de polynômes pouvant s’écrire comme une fonction fractal d’un trinôme. Cette classe de polynômes (facilement identifiable) trouvent donc des solutions.

Voilà, j’aimerais que vous me disiez ce que vous pensez de tout ça, notamment si cette classe de polynômes a déjà étaient identifiée.

J’aimerais aussi définir la portion des polynômes qui sont issue de ces fonction fractales. Par exemple, pour les polynômes d’ordre 4, nous avons 5 paramètres indépendant , les polynômes qui nous intéresse n’ont que trois degrés de liberté (a,b,c) qui vont créer les . Pouvons nous dire que ces polynômes « fractale » représentent dans un espace de dimension 5 un sous ensemble de dimension 3, c’est à dire, que mes polynômes serait sur une hypercourbe dans un espaces de dimension 5 ?

Merci d'avoir lu ce messages et plus encore d'y répondre.
Cordialement,
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[prgasp77]

Bonjour.
C'est un début d'étude intéressant, tu pourrais poursuivre en donnant une méthode permettant d'affirmer si oui ou non un polynome de degré n a les propriétés dont tu parles.

Pour ce qui est de l'hypercourbe : oui

Pour ce qui est de la recherche de racine de ce genre de polynomes, il me semble que parmis les différentes méthodes qui existent, certaines utilisent cette propriété ; mais je ne suis vraiment pas sûr, mieux vaut attendre confirmation.

Idée pour poursuivre : étudier ce genre de polynomes-fractales dans C ou H. Ou alors étudier la convergence de ce genre de fonctions pour certaines fonctions de bases

Bonne chance.

[invite50625854]

Merci prgasp77 pour ta réponse encourageante.
prgasp77 :

C'est un début d'étude intéressant, tu pourrais poursuivre en donnant une méthode permettant d'affirmer si oui ou non un polynome de degré n a les propriétés dont tu parles.

C'est déjà fait, il suffit décrire chaque coellicient en fonction de (a,b,c). On peut alors obtenir des relations (si je me souvient bien il y en a 2) entre les , si c'est 2 relations sont vrai, c'est que le polynomes est une "fractale".

Idée pour poursuivre : étudier ce genre de polynomes-fractales dans C ou H. Ou alors étudier la convergence de ce genre de fonctions pour certaines fonctions de bases

Ce pourrait être très interessant, en effet... Merci. Mais mon niveau est vraiment mauvais, et pour trouver g(x) tel que c'est malheuresement hors de ma portée.

Encore merci...

[invite176d5ac1]

Pour trouver g(x) tu risque d'avoir d'important problêmes de divergence. En effet en passant à la limite (en n) des fn, si tu prends par exemple le polynôme f(x) = x² et que tu applique ta récurrence fractale, ton résultat va diverger pour tout x différent de 0 et la définition de g(x) devient alors très problématique.
Pire on peut prendre des fonctions simples commes x^-² dont la fonction g(x) n'est tout simplement pas définie puisque ((x^-²)^-²etc...)^-² oscille entre des valeurs qui tendent vers zéro et l'infini en tout point différent de zéro selon si n, le nombre de composition est pair ou impair.

Il faudrait alors s'interesser aux fonctions f telles que g(x) existe dans un ensemble considéré et en tout point de cet ensemble.

Sinon c'est une façon interessante de construire une fonction et je crois me souvenir que certaines fractales de Mandelbrot sont définies comme étant l'ensemble des points telles que |fn(x)|<a, x appartenant à C et a à R.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deeprod]

Avez vous déjà vu les propriétés de ce type fonction, que j’appelle fractale ? Si oui comment s’appelle ce type de fonction et ou pourrais je trouver des infos ?

Ce qui tu fait s'appelle des "iterations" (qui n'est pas une notion etrangere au fractale).

f(f(x)) est l'iterer seconde de f
f(f(f(x))) l'iterer troisieme etc...

Tu peux définir une suite d'iterer comme ceci :

Uo = 1
pour tout n dans N, Un+1 = f(Un)

Et travailler sur la suite (en faisant varier Uo, tu peux déja regarder l'alure des suites en faisant un dessin de la fonction f), j'ai étudier de nombreux thérome sur ce genre de suite dans mon cours de MPSI.

Tu peux faire des recherches de point fixe, de partie stable...

Pour mémoire, la suite définie par

f(x) = racine(1+x)

Uo = 0
pour tout n dans N, Un+1 = f(Un)

à pour limite en l'infini ... le nombre d'or

[Deeprod]

La recherche de partie stable peut être interessante pour prévoir ou va tomber ton iterer suivante.

Par exemple tu sais que la fonction racine est stable sur [0,1] (cad que toutes images par racines d'un nombre entre O et 1 est aussi entre 0 et 1).

Donc f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f( f(0,8)))))))))))))))) appartient à [0,1]. (pour f la fonction racine)

C'est un des théoremes que j'ai appris cet année en MPSI

[invite50625854]

Vos proposition sont très interessantes, il est vrai que je n'avais pas réalisé que la fonction était en réalité le point fixe (intersection entre x et f(x)) dans le cas d'une convergence.

Donc on pourrait dire que si est une fonction qui converge, alors elle ne pourra prendre comme valeur uniquement celle des points fixes de f(x) ?

Ex : f(x) = x² pour x dans [0;1], cette fonction est donc stable.
On peux montrer que

En tout cas, merci beaucoup. J'ai aussi le vrai nom de ce type fonction à savoir que est l'itérer n-ièmes. Avec ça je pense pouvoir satisfaire ma curiosité.
Merci à vous !

[Deeprod]

pour info la notation est :

iterer 2-ieme : f°²(x) = fof(x)

[invite50625854]

Merci pour l'info

[Deeprod]

Si tu souhaite quelques théorèmes sur les iterer, contact moi à deeprodney@hotmail.com