Algebre Lineaire
Bonsoir,
Si V,W sont deux espaces vectoriels de dimension finie sur un corps K et si A est une application linéaire de V dans W, prouver qu'il existe une base de V et une base de W telles que la matrice de A dans ces bases soit de la forme
( Ir 0)
( 0 0)
où Ir est la matrice r*r avec r=rang A
Je n'est pas vraiment d'idée pour la preuve alors si quelqu'un pourrait m'aider.
Bonsoir.
Une application linéaire est entièrement définie par l'image des vecteurs de base de l'espace de départ.
Si (e1,...,en) est une base de V.
Tu notes :
e'1=f(e1)
e'2=f(e2)
...
e'n=f(en)
Comme ton application est de rang r, tu conserve les r f(ei)=e'i qui sont libres. Ces r f(ei) libres, on les renomme au besoin b'i=f(bi).
On a donc (b1,...bp) de V qui par f donnent une base (b'1,...,b'p) de W.
On complète (b1,...,bp) pour avoir une base de V (b1,...,bp,xp+1,...xn) . Et on obtient une matrice de la forme voulue.
Mm, il y a un petit problème, je n'ai pas montré que les f(xp+1),...,f(xp) ne sont pas des combinaisons linéaires des b'i... Ca doit être évident qu'on peut trouver des vecteurs qui tapent sur 0, mais à cette heure-ci...à méditer
Le ker étant de dimension (n-p) , on prend pour compléter la base (n-p) vecteurs de base du ker. Donc on peut bien avoir que des 0 après.
ok merci je pense voir comment mettre ceci sous forme de démonstration
