Composantes contravariantes et covariantes

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème de compréhension sur les composantes contravariantes et covariantes ; en fait, j'ai du mal à faire la différence entre ces deux notions.

Dans le cas d'un vecteur (pour prendre un exemple simple), je sais qu'il peut s'exprimer en fonction de ses composantes contravariantes ou de ses composantes covariantes. Je sais également que lorsque le vecteur subit une rotation, les composantes contravariantes subissent une rotation inverse, et les composantes covariantes une rotation identique (d'où les préfixes co- et contra-).

L'ennui, c'est que si l'on se place dans un repère orthonormé, ces deux composantes différentes sont confondues, et je ne n'arrive donc pas à "visualiser" ces notions.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2

[Gwyddon]

Salut,

Dans le cas d'un espace vectoriel E de dimension finie muni d'un produit scalaire, on peut identifier les vecteurs de cet espace E avec les formes linéaires construites sur E :



ou le plus souvent.

Les composantes contravariantes du vecteur a seront celles dans E, les composantes covariantes de a seront celles de la forme linéaire associée dans E^*


Ensuite de manière plus générale pour un tenseur, un tenseur covariant n'a que des composantes dans un espace de formes linéaires, exemple , un contravariant aura des composantes dans pour notre exemple, et un mixe aura des composantes dans . On peut aller de l'un à l'autre par identification via les définitions des produits scalaires (ce que tu fais composantes par composantes avec la métrique).

Plus clair tout ça ?

[Ksilver]

"ces deux composantes différentes sont confondues, et je ne n'arrive donc pas à "visualiser" ces notions."


avec une métrique euclidienne ? c'est parceque, dans une base orthonormé, la métrique c'est l'identité, mais ce n'est qu'une apparence : la métrique c'est l'identité mais de l'espace des vecteur vers celui des formes linéaire. donc en fait on ne peut pas dire que c'est l'identité (l'objet de départ et l'objet d'arrivé sont totalement distincte) ce qui ce passe c'est juste quand choisisant une bonne base de E et de E*, il ce peut que le vecteur et son image par la métrique ai les meme coordonés. c'est ce qui ce produit quand on prend une métrique euclidienne, une base orthonormé de E et sa base dual de E*.

[fderwelt]

Bonjour,

Avec un pseudo comme Phys2 je peux peut-être tenter une explication "avec les mains"...

Les coordonnées d'un vecteur dans une base (contravariantes) disent exactement comment ce vecteur est construit. Les coordonnées covariantes sont le résultat de l'application de formes linéaires à ce vecteur, donc les résultats d'une mesure. Et il n'y a aucune raison que la mesure se transforme exactement comme l'original.

J'ai suffisamment embrouillé les choses, là?

-- françois

[Seirios]

Je pense avoir compris le principe, mais une petite question pratique : Comment trouvé la forme linéaire associée dans E* ? (la question est peut-être un peu vaste, donc un exemple suffirait certainement)

[Ksilver]

Salut !

c'est la qu'intervient la métrique.

il y a deux facon de le voir, soit tu voit la métrique comme une application, dans ce cas la forme linéaire associé c'est l'image de ton vecteur par la métrique.

soit tu voit la métrique comme un produit scalaire, et alors la fomr linéair associé a x, c'est Phi : y->(x|y)

[Gwyddon]

Euh... Phys2 tu as lu mon message ?

[Seirios]

Euh... Phys2 tu as lu mon message ?

Oui effectivement, je n'ai pas prêté assez d'attention à la dernière phrase de ton post (mais je t'assure d'avoir lu le reste avec attention ).

Je pense avoir tout compris, mais j'ai du mal à "voir" comment procéder dans un exemple concret.

Par exemple, prenons un espace vectoriel : Considérons la structure de -espace vectoriel de , l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 4. On choisit alors une base : en définissant , on a la base suivante : .

En posant tel que , on a les composantes contravariantes suivantes : (en considérant la base énoncée plus haut).

Mais qu'elles sont alors les composantes covariantes de ce vecteur ? D'après ce que j'ai compris il faudrait calculer la métrique et appliquer cette fonction à chaque composante, mais je ne vois pas comment...

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

[fderwelt]

Bonsoir,

Justement là ta base (f_i) est orthonormale... donc pas de différence entre les composantes covariantes et contravariantes!

-- françois

[fderwelt]

Rebonsoir,

Il me revient une manière simple de visualiser cette histoire de coordonnées covariantes et contravariantes.

Par exemple on prend dans un espace tridimensionnel une base quelconque (e_X,e_Y,e_Z). On construit la base duale (e^X,e^Y,e^Z) en prenant:

pour e^X le vecteur orthogonal au plan (e_Y,e_Z) de longueur 1/|e_X|
pour e^Y le vecteur orthogonal au plan (e_Z,e_X) de longueur 1/|e_Y|
pour e^Z le vecteur orthogonal au plan (e_X,e_Y) de longueur 1/|e_Z|

Les coordonnées covariantes d'un vecteur u=Xe_X+Ye_Y+Ze_Z sont alors les coordonnées de u dans la base duale.

Attention tout de même, ce n'est pas mathématiquement tout à fait correct. La base duale est en fait une base de l'espace dual, et il n'est pas très propre d'identifier une forme linéaire et un vecteur. De plus il aurait fallu préciser l'orientation des axes orthogonaux aux plans de référence... Mais bon, ça donne une idée un peu plus concrète.

-- françois

[Seirios]

Justement là ta base (fi) est orthonormale... donc pas de différence entre les composantes covariantes et contravariantes!

Comment sait-on qu'une base est orthonormale ?

[fderwelt]

Comment sait-on qu'une base est orthonormale ?

Bonjour,

En fait il faut définir un produit scalaire... Ici j'ai implicitement supposé qu'on prenait la définition "canonique" (et bien naturelle)

<f_i,f_i> = 1
<f_i,f_j> = 0

Mais c'est clair qu'avec une autre définition le résultat est différent.

-- françois

[Seirios]

Quelqu'un aurait-il une documentation sur la métrique et le moyen de la calculer ?

Merci d'avance
Phys2

[Seirios]

Quelqu'un aurait-il une documentation sur la métrique et le moyen de la calculer ?

...Ou bien un exemple de calcul de composantes contravariantes et covariantes en utilisant le calcul de la métrique.

Merci d'avance
Phys2

[noraphy]

Bonjour,

Avec un pseudo comme Phys2 je peux peut-être tenter une explication "avec les mains"...

Les coordonnées d'un vecteur dans une base (contravariantes) disent exactement comment ce vecteur est construit. Les coordonnées covariantes sont le résultat de l'application de formes linéaires à ce vecteur, donc les résultats d'une mesure. Et il n'y a aucune raison que la mesure se transforme exactement comme l'original.

J'ai suffisamment embrouillé les choses, là?

-- françois

j'ai étudié la relativité restreinte, et on utilise beaucoup les composantes covariantes et contravariantes, dans l'espace-temps, mais je n'ai pas trés bien compris, le sens physique de ces composantes. Et merci.