Demontrer que X^4+X^3-X+1=0 n'a pas de solution dans R

[invite274895fd]

Salut les matheus,
voilà un petit exo surement assez facile pour vous ...

Demontrer X^4+X^3-X+1=0 n'a pas de solution dans R.

Moi je l'ai réussi, enfin j'ai l'impression, mais c'est avec une méthode un peu personnelle ...

Donc j'aimerais bien avoir vos raisonnements, car j'ai pas envie d'attendre Jeudi pour avoir la solution ...

Je précise que c'est un exo de term S, mais bon jusqu'à maintenant on a fait que continuité, Th des Valeurs Intermédiaire et bijection, donc merci de trouver la solution en utilisant des chose que je suis sensé connaitre .

Merci d'avance.

PS : Je suis nouveau ici, allez voir ma présentation, si ça vous dit...
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[invite6f044255]

salut,







or f'(-1/2)<0 et f'(0)=-1.
et f' tend vers -oo en -oo et vers +oo en +oo.
donc f' ne s'annule qu'une fois: entre 0 et +oo.

f tend vers +oo en -oo et +oo, sa dérivée s'annule une seule fois. Si f est positif lorsque sa dérivée s'annule, alors c'est bon.

Ca reste donc à finir, mais j'ai faim

[invite274895fd]

Merci, c'est bien comme ça que j'avais fait ... mais en beaucoup plus de temps ... snif.

D'ailleur j'y ai pensé dans ma douche et non devant ma copie, comme quoi il faut aussi laisser son cerveau se reposer la solution arrive parfois d'elle même .... (C'est super ça, mais pas pour les contrôles par contre ...).

N'empèche que je suis bloqué sur la fin de l'exo..

f(x) est bien positif lorsque sa dérivée s'annule mais sa dérivé s'annule en x = 0.45541......... donc difficile à trouver sans calculatrice, j'ai donc encadrée cette valeur et je suis arrivé à cette encadrement de c (c étant la solution unique de f'(x)=0 et c compris dans [0;+oo[ ) : f'(0.375)<f'(c)<f'(0.5) <=> 0.375<c<0.5 car f' croissante sur [0;+oo[

Comme f'(x)<0 en ]-oo;c[ et >0 en ]c;+oo[
alors f(x) décroissante en ]-oo;c] et croissante en [c;+oo[

*0 n'étant pas compris dans ]+oo;f(c)],
*et dans [f(c);+oo[
*(Le problème est là, je sais que f(c)>0 mais je n'arrive pas à le prouver, en plus je ne possède qu'un encadrement de c et je ne peut pas dire que f(0.375)<f(c)<f(0.5) car la fonction f est décroissante en 0.375, constante en c et croissante en 0.5, cette encadrement n'est donc valable que pour f'(x) ).

Donc l'équation n'a pas de solution dans ]-oo;c]U[c;+oo[, c'est à dire dans R.

[invite17446a8a]

Salut
Tu as demontré qu'il n'y avait pas de solution ni dans R-,
ni dans [1,+infini[ (desolé, je ne sais pas faire le signe infini, je débute)
car f(1)=2
donc il reste à voir l'intervalle ]0,1[.
Soit a un réel compris entre 0 et 1 strictement.
raisonnement par l'absurde:
Si a est solution de l'equation on a :

a^4+a^3-a+1=0

soit a=a^4+a^3+1
a>0 donc on a a>1 ce qui ne peut etre car on a supposé a<1.
donc pas de solution dans ]0,1[.

Par contre, je ne sais pas si tu connais ce genre de raisonnement.
Mais comment dire j'ai somm...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite274895fd]

Ok, merci.

Je connais ce genre de raisonnement, mais là le problème c'est que je n'y avait pas pensé .... J'ai pas l'habitude de l'utiliser je l'ai juste aperçu quelque fois dans mes cours pour justifier des théorèmes et propriétés (mais je vais essayer de l'utiliser le plus possible car c'est vrai qu'il est très utile dans n'importe quel cas)

Tu fait quoi comme études ?