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x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

  1. 3ammar

    Date d'inscription
    avril 2007
    Messages
    16

    x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Bonjour,

    Tout le monde connait l'équation x^2 + x +1 = 0, et sait le delta de cette équation est négatif (égal à -3), donc, elle n'a pas de solution dans l'ensemble R.

    pour ceux qui ne connaissent pas le delta, on montre que cette équation n'a pas de solution dans R:

    x^2 + x + 1 = x^2 + 2*1/2*x + 1/4 + 3/4
    = (x+1/2)^2 + 3/4

    donc, x^2 + x +1 >0 d'où l'équation x^2 + x +1 = 0 n'admet pas de solution dans l'ensemble R.


    Mais, Maintenant, essayons de faire le calcul d'une manière différente:

    on a x^2 + x + 1 = 0 (E1)

    donc, x(x+1) = -1 (E2)

    et on a aussi x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1) (E3)

    donc, en remplaçant (x+1) par -x^2 dans (E2) on obtient:

    x(-x^2) = -1

    c'est à dire -x^3 = -1 ie: x^3 = 1

    d'où x = 1, c'est à dire que la solution dans l'ensemble R est {1}



    Contradiction avec ce qu'on a dit au début !!!

    Trouvez l'erreur !


     


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  2. kitataup

    Date d'inscription
    avril 2007
    Âge
    26
    Messages
    27

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    je vais ptet dire une connerie mais
    1^2 + 1 + 1 <> 0 non?
     

  3. Mamie

    Date d'inscription
    février 2005
    Âge
    36
    Messages
    118

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Hmmm... Je la connaissais pas celle la ! Mes souvenirs de math de prepa commence a dater un peu mais n'y aurait il pas un probleme au niveau de E3, genre "x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1)" mais la réciproque n'est pas vraie donc on ne peut pas remonter en arriere ?
    Un jour où je n'apprends rien est un jour perdu.
     

  4. 3ammar

    Date d'inscription
    avril 2007
    Messages
    16

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par kitataup Voir le message
    je vais ptet dire une connerie mais
    1^2 + 1 + 1 <> 0 non?


    Bien sûr moi je parle de trouver l'origine de la contradiction: J'ai montré dès le début que cette équation n'admet pas de solution dans R (bien sûr, 1 n'est pas solution de cette équation) , mais, en faisant un autre petit calcul on a trouvé x=1: Donc, peux-tu expliquer ce résultat ?
    Dernière modification par 3ammar ; 05/04/2007 à 17h00.
     

  5. 3ammar

    Date d'inscription
    avril 2007
    Messages
    16

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    En fait, j'ai commis volontairement une erreur de raisonnement, mais, peux-tu trouver où réside l'erreur ?
     


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  6. 3ammar

    Date d'inscription
    avril 2007
    Messages
    16

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par Mamie Voir le message
    Hmmm... Je la connaissais pas celle la ! Mes souvenirs de math de prepa commence a dater un peu mais n'y aurait il pas un probleme au niveau de E3, genre "x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1)" mais la réciproque n'est pas vraie donc on ne peut pas remonter en arriere ?
    Si, la réciproque est vraie:

    x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1)

    et on a aussi -x^2 = (x+1) implique x^2 + x + 1 = 0
     

  7. prgasp77

    Date d'inscription
    février 2004
    Localisation
    Île de France / Troyes
    Âge
    27
    Messages
    1 239

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Bonjour.
    Il n'y a ici aucune erreur de calcul, c'est une erreur d'analyse si je puis dire.

    Au départ, lorsque l'on pose l'équation, on suppose l'existence d'un nombre x réel tel que x2 + x + 1 = 0, ce qui implique (tu l'as démontré) que x = 1.

    Tu viens donc de donner un exemple de logique, une assertion fausse (x2+x+1=0) implique toute assertion (x=1)
    Dans le même genre, on peut démontrer à partir de l'assertion 1=2 que tu es le pape ^^
     

  8. Jean_Luc

    Date d'inscription
    février 2007
    Localisation
    Grenoble
    Âge
    41
    Messages
    430

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par 3ammar Voir le message
    et on a aussi x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1) (E3)

    donc, en remplaçant (x+1) par -x^2 dans (E2) on obtient:

    x(-x^2) = -1
    Salut,

    Je vais peut etre dire un betise, mais pour faire la subsitution il faudrait qu'il y ait egalite, or on ne peut pas trouver de x tel que -x^2 = (x+1) donc la substitution n'est pas valable.
    L'Univers est fini. Ah bon déjà ?
     

  9. 3ammar

    Date d'inscription
    avril 2007
    Messages
    16

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par prgasp77 Voir le message
    Bonjour.
    Il n'y a ici aucune erreur de calcul, c'est une erreur d'analyse si je puis dire.

    Au départ, lorsque l'on pose l'équation, on suppose l'existence d'un nombre x réel tel que x2 + x + 1 = 0, ce qui implique (tu l'as démontré) que x = 1.

    Tu viens donc de donner un exemple de logique, une assertion fausse (x2+x+1=0) implique toute assertion (x=1)
    Dans le même genre, on peut démontrer à partir de l'assertion 1=2 que tu es le pape ^^

    Oui, Exactement.

    avec cet exemple, je voulais souligner qu'il faut résoudre les équations avec des équivalences et non pas des implications, puisque, comme tu l'as dis, une assertion fausse implique toute assertion.
     

  10. 3ammar

    Date d'inscription
    avril 2007
    Messages
    16

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    On peut aussi dire que le fait de déduire que S={1} quand j'ai trouvé x=1 est faux: le seul truc qu'on peut en déduire c'est que S est incluse dans {1}, et non pas que S = {1} puisqu'il j'ai raisonné avec une implication dans un seul sens, et non pas avec une équivalence.



    C'est à ce niveau qu'il n'ya pas d'équivalence:

    [ -x^2 = (x+1) et x(x+1) = -1 ] implique que -x^3 = -1.

    Mais la réciproque n'est pas vraie !
    Dernière modification par 3ammar ; 05/04/2007 à 17h24.
     

  11. alaouiomar

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Âge
    24
    Messages
    5

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par 3ammar Voir le message
    Bonjour,

    Tout le monde connait l'équation x^2 + x +1 = 0, et sait le delta de cette équation est négatif (égal à -3), donc, elle n'a pas de solution dans l'ensemble R.

    pour ceux qui ne connaissent pas le delta, on montre que cette équation n'a pas de solution dans R:

    x^2 + x + 1 = x^2 + 2*1/2*x + 1/4 + 3/4
    = (x+1/2)^2 + 3/4

    donc, x^2 + x +1 >0 d'où l'équation x^2 + x +1 = 0 n'admet pas de solution dans l'ensemble R.


    Mais, Maintenant, essayons de faire le calcul d'une manière différente:

    on a x^2 + x + 1 = 0 (E1)

    donc, x(x+1) = -1 (E2)

    et on a aussi x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1) (E3)

    donc, en remplaçant (x+1) par -x^2 dans (E2) on obtient:

    x(-x^2) = -1

    c'est à dire -x^3 = -1 ie: x^3 = 1

    d'où x = 1, c'est à dire que la solution dans l'ensemble R est {1}



    Contradiction avec ce qu'on a dit au début !!!

    Trouvez l'erreur !
    Bon ce PRObléme c'est un problémes 100% logique je te montre OU là faute:

     

  12. alaouiomar

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Âge
    24
    Messages
    5

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par alaouiomar Voir le message
    Bon ce PRObléme c'est un problémes 100% logique je te montre OU là faute:
    dzl c'est l'image
    *** pas d'image sur serveur externe ***
    Images attachées
    Dernière modification par JPL ; 09/01/2014 à 00h02.
     

  13. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    54
    Messages
    2 041

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Bonjour,

    En fait on peut très bien résoudre des équations par implications (et non équivalences), sous réserve de vérifier ensuite la validité des solutions trouvées. En fait on n'obtient que des conditions nécessaires, pas suffisantes.

    Ainsi, si x réel vérifie x²+x+1 = 0 alors nécessairement x = 1. Et 1²+1+1 ≠ 0. Donc il n'y a pas de x réel tel que x²+x+1 = 0.

    Question de prudence élémentaire...

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.
     

  14. alaouiomar

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Âge
    24
    Messages
    5

    Thumbs up Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par fderwelt Voir le message
    Bonjour,

    En fait on peut très bien résoudre des équations par implications (et non équivalences), sous réserve de vérifier ensuite la validité des solutions trouvées. En fait on n'obtient que des conditions nécessaires, pas suffisantes.

    Ainsi, si x réel vérifie x²+x+1 = 0 alors nécessairement x = 1. Et 1²+1+1 ≠ 0. Donc il n'y a pas de x réel tel que x²+x+1 = 0.

    Question de prudence élémentaire...

    -- françois
    c'est ça ce que j'ai voulu d'expliqué
     

  15. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    54
    Messages
    2 041

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par alaouiomar Voir le message
    c'est ça ce que j'ai voulu d'expliqué
    Oui, j'avais bien vu, je voulais juste le reformuler en termes plus intuitifs.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.
     


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