x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

[invite9db50524]

Bonjour,

Tout le monde connait l'équation x^2 + x +1 = 0, et sait le delta de cette équation est négatif (égal à -3), donc, elle n'a pas de solution dans l'ensemble R.

pour ceux qui ne connaissent pas le delta, on montre que cette équation n'a pas de solution dans R:

x^2 + x + 1 = x^2 + 2*1/2*x + 1/4 + 3/4
= (x+1/2)^2 + 3/4

donc, x^2 + x +1 >0 d'où l'équation x^2 + x +1 = 0 n'admet pas de solution dans l'ensemble R.


Mais, Maintenant, essayons de faire le calcul d'une manière différente:

on a x^2 + x + 1 = 0 (E1)

donc, x(x+1) = -1 (E2)

et on a aussi x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1) (E3)

donc, en remplaçant (x+1) par -x^2 dans (E2) on obtient:

x(-x^2) = -1

c'est à dire -x^3 = -1 ie: x^3 = 1

d'où x = 1, c'est à dire que la solution dans l'ensemble R est {1}



Contradiction avec ce qu'on a dit au début !!!

Trouvez l'erreur !
-----

[invite07ae7902]

je vais ptet dire une connerie mais
1^2 + 1 + 1 <> 0 non?

[inviteba01f777]

Hmmm... Je la connaissais pas celle la ! Mes souvenirs de math de prepa commence a dater un peu mais n'y aurait il pas un probleme au niveau de E3, genre "x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1)" mais la réciproque n'est pas vraie donc on ne peut pas remonter en arriere ?

[invite9db50524]

je vais ptet dire une connerie mais
1^2 + 1 + 1 <> 0 non?

Bien sûr moi je parle de trouver l'origine de la contradiction: J'ai montré dès le début que cette équation n'admet pas de solution dans R (bien sûr, 1 n'est pas solution de cette équation) , mais, en faisant un autre petit calcul on a trouvé x=1: Donc, peux-tu expliquer ce résultat ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9db50524]

En fait, j'ai commis volontairement une erreur de raisonnement, mais, peux-tu trouver où réside l'erreur ?

[invite9db50524]

Hmmm... Je la connaissais pas celle la ! Mes souvenirs de math de prepa commence a dater un peu mais n'y aurait il pas un probleme au niveau de E3, genre "x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1)" mais la réciproque n'est pas vraie donc on ne peut pas remonter en arriere ?

Si, la réciproque est vraie:

x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1)

et on a aussi -x^2 = (x+1) implique x^2 + x + 1 = 0

[prgasp77]

Bonjour.
Il n'y a ici aucune erreur de calcul, c'est une erreur d'analyse si je puis dire.

Au départ, lorsque l'on pose l'équation, on suppose l'existence d'un nombre x réel tel que x² + x + 1 = 0, ce qui implique (tu l'as démontré) que x = 1.

Tu viens donc de donner un exemple de logique, une assertion fausse (x²+x+1=0) implique toute assertion (x=1)
Dans le même genre, on peut démontrer à partir de l'assertion 1=2 que tu es le pape ^^

[Jean_Luc]

et on a aussi x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1) (E3)

donc, en remplaçant (x+1) par -x^2 dans (E2) on obtient:

x(-x^2) = -1

Salut,

Je vais peut etre dire un betise, mais pour faire la subsitution il faudrait qu'il y ait egalite, or on ne peut pas trouver de x tel que -x^2 = (x+1) donc la substitution n'est pas valable.

[invite9db50524]

Bonjour.
Il n'y a ici aucune erreur de calcul, c'est une erreur d'analyse si je puis dire.

Au départ, lorsque l'on pose l'équation, on suppose l'existence d'un nombre x réel tel que x² + x + 1 = 0, ce qui implique (tu l'as démontré) que x = 1.

Tu viens donc de donner un exemple de logique, une assertion fausse (x²+x+1=0) implique toute assertion (x=1)
Dans le même genre, on peut démontrer à partir de l'assertion 1=2 que tu es le pape ^^

Oui, Exactement.

avec cet exemple, je voulais souligner qu'il faut résoudre les équations avec des équivalences et non pas des implications, puisque, comme tu l'as dis, une assertion fausse implique toute assertion.

[invite9db50524]

On peut aussi dire que le fait de déduire que S={1} quand j'ai trouvé x=1 est faux: le seul truc qu'on peut en déduire c'est que S est incluse dans {1}, et non pas que S = {1} puisqu'il j'ai raisonné avec une implication dans un seul sens, et non pas avec une équivalence.



C'est à ce niveau qu'il n'ya pas d'équivalence:

[ -x^2 = (x+1) et x(x+1) = -1 ] implique que -x^3 = -1.

Mais la réciproque n'est pas vraie !

[inviteb346b16b]

Bonjour,

Tout le monde connait l'équation x^2 + x +1 = 0, et sait le delta de cette équation est négatif (égal à -3), donc, elle n'a pas de solution dans l'ensemble R.

pour ceux qui ne connaissent pas le delta, on montre que cette équation n'a pas de solution dans R:

x^2 + x + 1 = x^2 + 2*1/2*x + 1/4 + 3/4
= (x+1/2)^2 + 3/4

donc, x^2 + x +1 >0 d'où l'équation x^2 + x +1 = 0 n'admet pas de solution dans l'ensemble R.


Mais, Maintenant, essayons de faire le calcul d'une manière différente:

on a x^2 + x + 1 = 0 (E1)

donc, x(x+1) = -1 (E2)

et on a aussi x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1) (E3)

donc, en remplaçant (x+1) par -x^2 dans (E2) on obtient:

x(-x^2) = -1

c'est à dire -x^3 = -1 ie: x^3 = 1

d'où x = 1, c'est à dire que la solution dans l'ensemble R est {1}



Contradiction avec ce qu'on a dit au début !!!

Trouvez l'erreur !

Bon ce PRObléme c'est un problémes 100% logique je te montre OU là faute:

[inviteb346b16b]

Bon ce PRObléme c'est un problémes 100% logique je te montre OU là faute:

dzl c'est l'image
*** pas d'image sur serveur externe ***

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

En fait on peut très bien résoudre des équations par implications (et non équivalences), sous réserve de vérifier ensuite la validité des solutions trouvées. En fait on n'obtient que des conditions nécessaires, pas suffisantes.

Ainsi, si x réel vérifie x²+x+1 = 0 alors nécessairement x = 1. Et 1²+1+1 ≠ 0. Donc il n'y a pas de x réel tel que x²+x+1 = 0.

Question de prudence élémentaire...

-- françois

[inviteb346b16b]

Bonjour,

En fait on peut très bien résoudre des équations par implications (et non équivalences), sous réserve de vérifier ensuite la validité des solutions trouvées. En fait on n'obtient que des conditions nécessaires, pas suffisantes.

Ainsi, si x réel vérifie x²+x+1 = 0 alors nécessairement x = 1. Et 1²+1+1 ≠ 0. Donc il n'y a pas de x réel tel que x²+x+1 = 0.

Question de prudence élémentaire...

-- françois

c'est ça ce que j'ai voulu d'expliqué

[invite6de5f0ac]

c'est ça ce que j'ai voulu d'expliqué

Oui, j'avais bien vu, je voulais juste le reformuler en termes plus intuitifs.

-- françois

[inviteec581d0f]

Je crois que x(x+1) ne pourra jamais être égal à -1 non? car pour tout x de R ona:

X² supérieur ou égal à X supérieur ou égal a 0
donc
X²+X strictement supérieur ou égal a 0
noooooooon?

[inviteec581d0f]

Par conséquent

on a x^2 + x + 1 = 0 (E1)

donc, x(x+1) = -1 (E2)

est absurde je crois a+

[prgasp77]

X² supérieur ou égal à X supérieur ou égal a 0

Oui, par exemple pour X=0,5 (X²=0,25 > X = 0,5)

[inviteec581d0f]

Oui, par exemple pour X=0,5 (X²=0,25 > X = 0,5)

Quelle Ironie...

Bon nous on se place dans le cas ou X=-1

 Cliquez pour afficher

[invite99bfc8be]

on a x^2 + x + 1 = 0 (E1)

voila l'erreur, vous avez commencé par une hypothèse fause, et on sait que: 0=>0 et vraie (proposition fausse implique une autre fausse nous donne une proposition vraie) et pui sque tout vos implication sont logique, vous arrivez à un résultyat faux vu le début qui est faux.

j'espere que je me suis bien expliqué!

[invite5ff6a46d]

Un nombre d'or

(1+sqr(5))/2=1,6180339887.........

[Clemgon]

Non, le nombre d'or est solution de x^2 - x -1=0, pas de x^2 + x + 1=0…

[caouthar]

c'est bien claire que c'est totalement faux parce que cette équation a une solution dans l'ensemble c et la preuve c'est que -x²=(x+1) que tu as dis est fausse par ce que dans R on ne peut jamais dire que x=\sqrt -(x+1)

[CM63]

Bonsoir,

Non, le nombre d'or est solution de x^2 - x -1=0, pas de x^2 + x + 1=0…

En effet, cette équation est l'équation du nombre d'or, dans laquelle on a remplacé les - par des +. Et je me suis demandé si les solutions avaient quelque chose à voir avec le nombre d'or, or () pas du tout, car elles sont égales à et (le produit est égal à 1 (somme des exposants égale à 0) et la somme est égale à -1 car égale à deux fois le cosinus de ) .

Bonne soirée.

[Paminode]

Bonjour,

En tout cas, cela permet enfin de démontrer que 3 = 0.

[danyvio]

Bonjour,

En tout cas, cela permet enfin de démontrer que 3 = 0.

Pas la peine de démontrer, c'est tellement évident

[phuongtuanpy248]

Équation n'a pas de solution pour tout x

[Lord.Med]

je suis tout d accord avec 3ammar car le discriminant est negatif donc pas de solution dans R mais dans C si.

[ansset]

.....
donc, en remplaçant (x+1) par -x^2 dans (E2) on obtient:

x(-x^2) = -1

c'est à dire -x^3 = -1 ie: x^3 = 1

Trouvez l'erreur !

c'est là l'erreur,
c'est une implication, pas une équivalence.
x²+x+1=0 => x^3=1 mais pas l'inverse ( un polynome de degré 3 n'est pas équivalent à un polynome de degré 2)
donc tu ne peux revenir en arrière pour la conclusion

[Lord.Med]

Attention ne confondez pas les choses une equation du second, a toujours un discriminant (delta) mais dans ce cas il est negatif donc dans R aucune solution.