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x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

  1. #1
    3ammar

    x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Bonjour,

    Tout le monde connait l'équation x^2 + x +1 = 0, et sait le delta de cette équation est négatif (égal à -3), donc, elle n'a pas de solution dans l'ensemble R.

    pour ceux qui ne connaissent pas le delta, on montre que cette équation n'a pas de solution dans R:

    x^2 + x + 1 = x^2 + 2*1/2*x + 1/4 + 3/4
    = (x+1/2)^2 + 3/4

    donc, x^2 + x +1 >0 d'où l'équation x^2 + x +1 = 0 n'admet pas de solution dans l'ensemble R.


    Mais, Maintenant, essayons de faire le calcul d'une manière différente:

    on a x^2 + x + 1 = 0 (E1)

    donc, x(x+1) = -1 (E2)

    et on a aussi x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1) (E3)

    donc, en remplaçant (x+1) par -x^2 dans (E2) on obtient:

    x(-x^2) = -1

    c'est à dire -x^3 = -1 ie: x^3 = 1

    d'où x = 1, c'est à dire que la solution dans l'ensemble R est {1}



    Contradiction avec ce qu'on a dit au début !!!

    Trouvez l'erreur !

    -----


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  3. #2
    kitataup

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    je vais ptet dire une connerie mais
    1^2 + 1 + 1 <> 0 non?

  4. #3
    Mamie

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Hmmm... Je la connaissais pas celle la ! Mes souvenirs de math de prepa commence a dater un peu mais n'y aurait il pas un probleme au niveau de E3, genre "x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1)" mais la réciproque n'est pas vraie donc on ne peut pas remonter en arriere ?
    Un jour où je n'apprends rien est un jour perdu.

  5. #4
    3ammar

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par kitataup Voir le message
    je vais ptet dire une connerie mais
    1^2 + 1 + 1 <> 0 non?


    Bien sûr moi je parle de trouver l'origine de la contradiction: J'ai montré dès le début que cette équation n'admet pas de solution dans R (bien sûr, 1 n'est pas solution de cette équation) , mais, en faisant un autre petit calcul on a trouvé x=1: Donc, peux-tu expliquer ce résultat ?
    Dernière modification par 3ammar ; 05/04/2007 à 15h00.

  6. #5
    3ammar

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    En fait, j'ai commis volontairement une erreur de raisonnement, mais, peux-tu trouver où réside l'erreur ?

  7. #6
    3ammar

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par Mamie Voir le message
    Hmmm... Je la connaissais pas celle la ! Mes souvenirs de math de prepa commence a dater un peu mais n'y aurait il pas un probleme au niveau de E3, genre "x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1)" mais la réciproque n'est pas vraie donc on ne peut pas remonter en arriere ?
    Si, la réciproque est vraie:

    x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1)

    et on a aussi -x^2 = (x+1) implique x^2 + x + 1 = 0

  8. #7
    prgasp77

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Bonjour.
    Il n'y a ici aucune erreur de calcul, c'est une erreur d'analyse si je puis dire.

    Au départ, lorsque l'on pose l'équation, on suppose l'existence d'un nombre x réel tel que x2 + x + 1 = 0, ce qui implique (tu l'as démontré) que x = 1.

    Tu viens donc de donner un exemple de logique, une assertion fausse (x2+x+1=0) implique toute assertion (x=1)
    Dans le même genre, on peut démontrer à partir de l'assertion 1=2 que tu es le pape ^^

  9. #8
    Jean_Luc

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par 3ammar Voir le message
    et on a aussi x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1) (E3)

    donc, en remplaçant (x+1) par -x^2 dans (E2) on obtient:

    x(-x^2) = -1
    Salut,

    Je vais peut etre dire un betise, mais pour faire la subsitution il faudrait qu'il y ait egalite, or on ne peut pas trouver de x tel que -x^2 = (x+1) donc la substitution n'est pas valable.
    L'Univers est fini. Ah bon déjà ?

  10. #9
    3ammar

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par prgasp77 Voir le message
    Bonjour.
    Il n'y a ici aucune erreur de calcul, c'est une erreur d'analyse si je puis dire.

    Au départ, lorsque l'on pose l'équation, on suppose l'existence d'un nombre x réel tel que x2 + x + 1 = 0, ce qui implique (tu l'as démontré) que x = 1.

    Tu viens donc de donner un exemple de logique, une assertion fausse (x2+x+1=0) implique toute assertion (x=1)
    Dans le même genre, on peut démontrer à partir de l'assertion 1=2 que tu es le pape ^^

    Oui, Exactement.

    avec cet exemple, je voulais souligner qu'il faut résoudre les équations avec des équivalences et non pas des implications, puisque, comme tu l'as dis, une assertion fausse implique toute assertion.

  11. #10
    3ammar

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    On peut aussi dire que le fait de déduire que S={1} quand j'ai trouvé x=1 est faux: le seul truc qu'on peut en déduire c'est que S est incluse dans {1}, et non pas que S = {1} puisqu'il j'ai raisonné avec une implication dans un seul sens, et non pas avec une équivalence.



    C'est à ce niveau qu'il n'ya pas d'équivalence:

    [ -x^2 = (x+1) et x(x+1) = -1 ] implique que -x^3 = -1.

    Mais la réciproque n'est pas vraie !
    Dernière modification par 3ammar ; 05/04/2007 à 15h24.

  12. #11
    alaouiomar

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par 3ammar Voir le message
    Bonjour,

    Tout le monde connait l'équation x^2 + x +1 = 0, et sait le delta de cette équation est négatif (égal à -3), donc, elle n'a pas de solution dans l'ensemble R.

    pour ceux qui ne connaissent pas le delta, on montre que cette équation n'a pas de solution dans R:

    x^2 + x + 1 = x^2 + 2*1/2*x + 1/4 + 3/4
    = (x+1/2)^2 + 3/4

    donc, x^2 + x +1 >0 d'où l'équation x^2 + x +1 = 0 n'admet pas de solution dans l'ensemble R.


    Mais, Maintenant, essayons de faire le calcul d'une manière différente:

    on a x^2 + x + 1 = 0 (E1)

    donc, x(x+1) = -1 (E2)

    et on a aussi x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1) (E3)

    donc, en remplaçant (x+1) par -x^2 dans (E2) on obtient:

    x(-x^2) = -1

    c'est à dire -x^3 = -1 ie: x^3 = 1

    d'où x = 1, c'est à dire que la solution dans l'ensemble R est {1}



    Contradiction avec ce qu'on a dit au début !!!

    Trouvez l'erreur !
    Bon ce PRObléme c'est un problémes 100% logique je te montre OU là faute:


  13. #12
    alaouiomar

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par alaouiomar Voir le message
    Bon ce PRObléme c'est un problémes 100% logique je te montre OU là faute:
    dzl c'est l'image
    *** pas d'image sur serveur externe ***
    Images attachées Images attachées
    Dernière modification par JPL ; 08/01/2014 à 22h02.

  14. #13
    fderwelt

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Bonjour,

    En fait on peut très bien résoudre des équations par implications (et non équivalences), sous réserve de vérifier ensuite la validité des solutions trouvées. En fait on n'obtient que des conditions nécessaires, pas suffisantes.

    Ainsi, si x réel vérifie x²+x+1 = 0 alors nécessairement x = 1. Et 1²+1+1 ≠ 0. Donc il n'y a pas de x réel tel que x²+x+1 = 0.

    Question de prudence élémentaire...

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  15. #14
    alaouiomar

    Thumbs up Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par fderwelt Voir le message
    Bonjour,

    En fait on peut très bien résoudre des équations par implications (et non équivalences), sous réserve de vérifier ensuite la validité des solutions trouvées. En fait on n'obtient que des conditions nécessaires, pas suffisantes.

    Ainsi, si x réel vérifie x²+x+1 = 0 alors nécessairement x = 1. Et 1²+1+1 ≠ 0. Donc il n'y a pas de x réel tel que x²+x+1 = 0.

    Question de prudence élémentaire...

    -- françois
    c'est ça ce que j'ai voulu d'expliqué

  16. #15
    fderwelt

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par alaouiomar Voir le message
    c'est ça ce que j'ai voulu d'expliqué
    Oui, j'avais bien vu, je voulais juste le reformuler en termes plus intuitifs.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  17. #16
    Gaara

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Je crois que x(x+1) ne pourra jamais être égal à -1 non? car pour tout x de R ona:

    X² supérieur ou égal à X supérieur ou égal a 0
    donc
    X²+X strictement supérieur ou égal a 0
    noooooooon?

  18. #17
    Gaara

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Par conséquent
    on a x^2 + x + 1 = 0 (E1)

    donc, x(x+1) = -1 (E2)
    est absurde je crois a+

  19. #18
    prgasp77

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par kimuto Voir le message
    X² supérieur ou égal à X supérieur ou égal a 0
    Oui, par exemple pour X=0,5 (X2=0,25 > X = 0,5)

  20. #19
    Gaara

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par prgasp77 Voir le message
    Oui, par exemple pour X=0,5 (X2=0,25 > X = 0,5)

    Quelle Ironie...

    Bon nous on se place dans le cas ou X=-1

     Cliquez pour afficher

  21. #20
    matinassa

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par 3ammar Voir le message
    on a x^2 + x + 1 = 0 (E1)
    voila l'erreur, vous avez commencé par une hypothèse fause, et on sait que: 0=>0 et vraie (proposition fausse implique une autre fausse nous donne une proposition vraie) et pui sque tout vos implication sont logique, vous arrivez à un résultyat faux vu le début qui est faux.

    j'espere que je me suis bien expliqué!

  22. #21
    Molty-TN

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Un nombre d'or

    (1+sqr(5))/2=1,6180339887.........

  23. #22
    Clemgon

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Non, le nombre d'or est solution de x^2 - x -1=0, pas de x^2 + x + 1=0…
    Ni!

  24. #23
    caouthar

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    c'est bien claire que c'est totalement faux parce que cette équation a une solution dans l'ensemble c et la preuve c'est que -x²=(x+1) que tu as dis est fausse par ce que dans R on ne peut jamais dire que x=\sqrt -(x+1)
    Dernière modification par caouthar ; 06/11/2013 à 16h24.

  25. #24
    CM63

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par Clemgon Voir le message
    Non, le nombre d'or est solution de x^2 - x -1=0, pas de x^2 + x + 1=0…
    En effet, cette équation est l'équation du nombre d'or, dans laquelle on a remplacé les - par des +. Et je me suis demandé si les solutions avaient quelque chose à voir avec le nombre d'or, or () pas du tout, car elles sont égales à et (le produit est égal à 1 (somme des exposants égale à 0) et la somme est égale à -1 car égale à deux fois le cosinus de ) .

    Bonne soirée.

  26. #25
    Paminode

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Bonjour,

    En tout cas, cela permet enfin de démontrer que 3 = 0.

  27. #26
    danyvio

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par Paminode Voir le message
    Bonjour,

    En tout cas, cela permet enfin de démontrer que 3 = 0.
    Pas la peine de démontrer, c'est tellement évident
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  28. #27
    phuongtuanpy248

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Équation n'a pas de solution pour tout x
    www.phuongtuan.com.vn

  29. #28
    Lord.Med

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    je suis tout d accord avec 3ammar car le discriminant est negatif donc pas de solution dans R mais dans C si.

  30. #29
    ansset

    Re : x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Citation Envoyé par 3ammar Voir le message
    .....
    donc, en remplaçant (x+1) par -x^2 dans (E2) on obtient:

    x(-x^2) = -1

    c'est à dire -x^3 = -1 ie: x^3 = 1

    Trouvez l'erreur !
    c'est là l'erreur,
    c'est une implication, pas une équivalence.
    x²+x+1=0 => x^3=1 mais pas l'inverse ( un polynome de degré 3 n'est pas équivalent à un polynome de degré 2)
    donc tu ne peux revenir en arrière pour la conclusion
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  31. #30
    Lord.Med

    Re : x^2 x 1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

    Attention ne confondez pas les choses une equation du second, a toujours un discriminant (delta) mais dans ce cas il est negatif donc dans R aucune solution.

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