x^2 + x +1 = 0: vous dites pas de solution dans R ?!

[3ammar]

Bonjour,

Tout le monde connait l'équation x^2 + x +1 = 0, et sait le delta de cette équation est négatif (égal à -3), donc, elle n'a pas de solution dans l'ensemble R.

pour ceux qui ne connaissent pas le delta, on montre que cette équation n'a pas de solution dans R:

x^2 + x + 1 = x^2 + 2*1/2*x + 1/4 + 3/4
= (x+1/2)^2 + 3/4

donc, x^2 + x +1 >0 d'où l'équation x^2 + x +1 = 0 n'admet pas de solution dans l'ensemble R.


Mais, Maintenant, essayons de faire le calcul d'une manière différente:

on a x^2 + x + 1 = 0 (E1)

donc, x(x+1) = -1 (E2)

et on a aussi x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1) (E3)

donc, en remplaçant (x+1) par -x^2 dans (E2) on obtient:

x(-x^2) = -1

c'est à dire -x^3 = -1 ie: x^3 = 1

d'où x = 1, c'est à dire que la solution dans l'ensemble R est {1}



Contradiction avec ce qu'on a dit au début !!!

Trouvez l'erreur !

[kitataup]

je vais ptet dire une connerie mais
1^2 + 1 + 1 <> 0 non?

[Mamie]

Hmmm... Je la connaissais pas celle la ! Mes souvenirs de math de prepa commence a dater un peu mais n'y aurait il pas un probleme au niveau de E3, genre "x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1)" mais la réciproque n'est pas vraie donc on ne peut pas remonter en arriere ?

[3ammar]

je vais ptet dire une connerie mais
1^2 + 1 + 1 <> 0 non?

Bien sûr moi je parle de trouver l'origine de la contradiction: J'ai montré dès le début que cette équation n'admet pas de solution dans R (bien sûr, 1 n'est pas solution de cette équation) , mais, en faisant un autre petit calcul on a trouvé x=1: Donc, peux-tu expliquer ce résultat ?

[3ammar]

En fait, j'ai commis volontairement une erreur de raisonnement, mais, peux-tu trouver où réside l'erreur ?

[3ammar]

Hmmm... Je la connaissais pas celle la ! Mes souvenirs de math de prepa commence a dater un peu mais n'y aurait il pas un probleme au niveau de E3, genre "x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1)" mais la réciproque n'est pas vraie donc on ne peut pas remonter en arriere ?

Si, la réciproque est vraie:

x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1)

et on a aussi -x^2 = (x+1) implique x^2 + x + 1 = 0

[prgasp77]

Bonjour.
Il n'y a ici aucune erreur de calcul, c'est une erreur d'analyse si je puis dire.

Au départ, lorsque l'on pose l'équation, on suppose l'existence d'un nombre x réel tel que x² + x + 1 = 0, ce qui implique (tu l'as démontré) que x = 1.

Tu viens donc de donner un exemple de logique, une assertion fausse (x²+x+1=0) implique toute assertion (x=1)
Dans le même genre, on peut démontrer à partir de l'assertion 1=2 que tu es le pape ^^

[Jean_Luc]

et on a aussi x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1) (E3)

donc, en remplaçant (x+1) par -x^2 dans (E2) on obtient:

x(-x^2) = -1

Salut,

Je vais peut etre dire un betise, mais pour faire la subsitution il faudrait qu'il y ait egalite, or on ne peut pas trouver de x tel que -x^2 = (x+1) donc la substitution n'est pas valable.

[3ammar]

Bonjour.
Il n'y a ici aucune erreur de calcul, c'est une erreur d'analyse si je puis dire.

Au départ, lorsque l'on pose l'équation, on suppose l'existence d'un nombre x réel tel que x² + x + 1 = 0, ce qui implique (tu l'as démontré) que x = 1.

Tu viens donc de donner un exemple de logique, une assertion fausse (x²+x+1=0) implique toute assertion (x=1)
Dans le même genre, on peut démontrer à partir de l'assertion 1=2 que tu es le pape ^^

Oui, Exactement.

avec cet exemple, je voulais souligner qu'il faut résoudre les équations avec des équivalences et non pas des implications, puisque, comme tu l'as dis, une assertion fausse implique toute assertion.

[3ammar]

On peut aussi dire que le fait de déduire que S={1} quand j'ai trouvé x=1 est faux: le seul truc qu'on peut en déduire c'est que S est incluse dans {1}, et non pas que S = {1} puisqu'il j'ai raisonné avec une implication dans un seul sens, et non pas avec une équivalence.



C'est à ce niveau qu'il n'ya pas d'équivalence:

[ -x^2 = (x+1) et x(x+1) = -1 ] implique que -x^3 = -1.

Mais la réciproque n'est pas vraie !

[alaouiomar]

Bonjour,

Tout le monde connait l'équation x^2 + x +1 = 0, et sait le delta de cette équation est négatif (égal à -3), donc, elle n'a pas de solution dans l'ensemble R.

pour ceux qui ne connaissent pas le delta, on montre que cette équation n'a pas de solution dans R:

x^2 + x + 1 = x^2 + 2*1/2*x + 1/4 + 3/4
= (x+1/2)^2 + 3/4

donc, x^2 + x +1 >0 d'où l'équation x^2 + x +1 = 0 n'admet pas de solution dans l'ensemble R.


Mais, Maintenant, essayons de faire le calcul d'une manière différente:

on a x^2 + x + 1 = 0 (E1)

donc, x(x+1) = -1 (E2)

et on a aussi x^2 + x + 1 = 0 implique -x^2 = (x+1) (E3)

donc, en remplaçant (x+1) par -x^2 dans (E2) on obtient:

x(-x^2) = -1

c'est à dire -x^3 = -1 ie: x^3 = 1

d'où x = 1, c'est à dire que la solution dans l'ensemble R est {1}



Contradiction avec ce qu'on a dit au début !!!

Trouvez l'erreur !

Bon ce PRObléme c'est un problémes 100% logique je te montre OU là faute:

[alaouiomar]

Bon ce PRObléme c'est un problémes 100% logique je te montre OU là faute:

dzl c'est l'image
*** pas d'image sur serveur externe ***

[fderwelt]

Bonjour,

En fait on peut très bien résoudre des équations par implications (et non équivalences), sous réserve de vérifier ensuite la validité des solutions trouvées. En fait on n'obtient que des conditions nécessaires, pas suffisantes.

Ainsi, si x réel vérifie x²+x+1 = 0 alors nécessairement x = 1. Et 1²+1+1 ≠ 0. Donc il n'y a pas de x réel tel que x²+x+1 = 0.

Question de prudence élémentaire...

-- françois

[alaouiomar]

Bonjour,

En fait on peut très bien résoudre des équations par implications (et non équivalences), sous réserve de vérifier ensuite la validité des solutions trouvées. En fait on n'obtient que des conditions nécessaires, pas suffisantes.

Ainsi, si x réel vérifie x²+x+1 = 0 alors nécessairement x = 1. Et 1²+1+1 ≠ 0. Donc il n'y a pas de x réel tel que x²+x+1 = 0.

Question de prudence élémentaire...

-- françois

c'est ça ce que j'ai voulu d'expliqué

[fderwelt]

c'est ça ce que j'ai voulu d'expliqué

Oui, j'avais bien vu, je voulais juste le reformuler en termes plus intuitifs.

-- françois