équation d'une courbe (fils électriques entre deux poteaux)

[Romain-des-Bois]

Bonsoir à toutes et à tous !

je ne sais pas trop comment ça m'est venu, mais en roulant, je regardais les fils électriques, soutenus par des poteaux (bon, vous voyez de quoi je veux parler !). Et j'ai fini par me dire que, tient, on dirait un morceau de parabole Je veux dire que, entre deux poteaux, la courbe du fil semble être une parabole (presque parfaite ).

Je me suis dit aussi que ça ne devait pas être trop dur à trouver (l'équation de cette courbe), mais finalement :
on a deux données géométriques : la distance entre les poteaux et la longueur du fil (la première étant plus petite que la seconde pour que le fil "tombe")
on a des données physiques : la masse du fil, mais aussi sa tension...

ici, il s'agit en plus d'un solide déformable Bon, bref, avec mes cours de prépa, je vois pas trop comment m'en tirer (j'imagine qu'il faut appliquer le PFD, puis...)

merci de me donner un coup de main (la moindre piste est la bienvenue !)

Romain
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[invite2dc206d9]

j'ai pas regardé le fichier attaché... mais dans un de mes livres de maths, j'ai vu que normalement l'équation d'un fil attaché entre deux poteaux est plutot une fonction hyperbolique.

Je cite : un fil électrique tendu entre deux poteaux décrit une courbe qu'on appelle "chainette" dont l'équation fait appel à une fonction hyperbolique, soit un cosinus hyperbolique.

[Romain-des-Bois]

merci !

le dessin, c'est juste pour donner une idée !

évidemment une parabole, c'était utopique ! OK pour un cosh, maintenant, il va falloir le démontrer

merci pour le renseignement


Romain

[invitec053041c]

Bonsoir.

Je m'étais aussi intéressé à retrouver l'équation de la chaînette, mais je n'y étais pas vraiment parvenu.
Wikipedia parle d'utiliser le lagrangien, mais il dit que si l'on considère des maillons et qu'on applique le PFS, on peut s'en sortir. Mais bon dur dur !
Je vais m'y pencher.

NB: voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Cha%C3%AEnette

[A voir en vidéo sur Futura]

[Follium]

Ta réponse sera surement un exp(-k*t)+exp(k*t) => par définition, cosh(x) = (exp(x)+exp(-x))/2. Maintenant, il n'y plus qu'a trouver ton équation différentielles d'ordre 2.

J'ai un peu la flemme pour donner un résultat en situation hyperstatique alors voilà une réponse très simpliste : Soit tes deux appuis avec seulement des réactions verticales (vers le haut).

Tu fais ta statique, tu fais la méthode des coupes fictives et puis tu appliques la formule bien connue pour avoir la flèche v(x) (la forme de ta déformée). (-E*Iz*v''(x) = M(x). E est ton module de Young, Iz est ton inertie par rapport à z, si tu as choisie un repère tel que x est vers le bas, y est dans ta fibre moyenne de tes fils et M(x) est ton moment fléchissant que tu arrives à calculer en appliquant les coupes fictives.

Tu arrives à quelque chose comme cela (avec seule force verticale en direction du sol, la pesanteur) : -E*Iz*v''(x) = (M*g*x)/2. Tu intègres et tu trouveras v(x) sans oublier tes conditions aux frontières. Maintenant, en ajoutant des degrés (inconnues en plus), tu devrais arriver à une EDO qui a comme solution un exp(k*x)+exp(-k*x).
Puis te déduis ton cosh.

Si quelqu'un aurait une autre idée, je n'en vois pas d'autre personnellement.

[invite4ef352d8]

Salut !


c'est un classique des exercice de taupe : considère une chainette avec des maillon de longeur dx, et fais un bilan des forces et des moments sur un maillon quelconque, normalement tu abouti a ton equation sans trop de difficulté.

(la solution est bien un cosh...)

[Romain-des-Bois]

Bon, merci à tous !

effectivement, c'est une bonne idée de considérer des maillons de longueur dx
par contre, je n'ai jamais fait cet exo en prépa

@ Follium : j'ai jamais vu de module de Young


Merci encore

Je vais m'y pencher

Romain

[invitec053041c]

Figure-toi qu'au début avec mon pont (encore et toujours), je comptais mettre suffisemment de ressorts pour former une chaînette , mais d'une ce n'est pas du tout l'objet de la recherche, de 2 je ne sais pas si avec des ressorts ça aurait marché, de 3 ça aurait vraiment été très dur !

Bon courage si tu veux trouver l'équation, moi j'ai numéroté les maillons i de 1 à n, mais je n'ai rien trouvé de convainquant...

[Coincoin]

Salut,
C'est une application directe de l'équation d'Euler-Lagrange.
Mais sinon, ça se démontre aussi plus laborieusement en s'amusant avec des éléments infinitésimaux, des abscisses curvilignes, ...

[invitec053041c]

Au passage, on a tout au moins une fois envisagé que le fil prenait la forme d'une parabole, mais nous n'avons pas à en rougir :

Galilée pensait que cette forme devait être un arc de parabole

Ca rassure .

[Romain-des-Bois]

Re

oui, j'ai vu ça aussi ! J'ai pensé (enfin, nous avons pensé !) comme Galilée

J'y ai passé la matinée (enfin presque), mais j'ai fini par la trouver la fameuse équation (sans passer par Euler-Lagrange, avec les éléments infinitésimaux). Je vais en faire une sorte d'exercice (en découpant en plusieurs questions) et je le posterai dans la rubrique révisions.

@ Ledescat : les cables qui soutiennent les ponts suspendus forment, eux, des arcs de parabole J'ai fait mon TPE de TS sur les ponts


Romain