Ordre d'un élément de Z/nZ

[invite51a3f1d4]

Bonjour à tous ! J'ai deux petites questions à vous soumettre :

1) Comment déterminer l'ordre d'un élément d de Z/nZ qui ne divise pas n (à ce moment la, on a n=d.q et l'ordre est q) et qui n'est pas premier avec n (cas générateur) ?
Le cas particulier auquel je pense est celui de 9 et 10 dans Z/24Z.

2) Pourquoi lorsqu'on démontre que le nombre de générateurs de Z/nZ est Phi(n), on utilise 1 et non 0 (u est générateur donc il existe k tel que u.k=1 puis Bezout ...) ???
Plus généralement, j'ai du mal à discerner quand intervient la vision multiplicative ou additive des choses.

Merci d'avance
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[invite51a3f1d4]

Des idées ? Ou est-ce que ce que je dis n'est pas correct ?

[Gwyddon]

Hello,

Pour ta deuxième question je n'ai pas tout suivi.

Pour la première dans un premier temps tu peux utiliser le théorème de Lagrange, qui t'indique que les ordres seront soit 1,2,4,6,8,12,24.

Comme tu le dis, n'ayant pas 9,10 premiers avec 24, on peut déjà exclure 24.

Ensuite, tu te rappelles que l'ordre d'un élément a est le plus petit entier n tel que n*a = 0. Maintenant au boulot

[invite51a3f1d4]

Oui c'est vrai, il reste toujours cette méthode. Pour la deuxième question,
la propriété est : le nombre de générateurs de Z/nZ est Phi(n), où Phi est l'indicatrice d'Euler. La démonstration commence par : soit u un générateur donc il existe k tel que classe(u.k)=classe(1) puis u.k+v.n=1 et Bezout. Pourquoi est-ce classe(1) et pas classe(0) ? Par exemple pour Z/24Z, on cherche bien n tel que n.a=0. Je ne comprends pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Ahh.. Mais ça n'a rien à voir en fait, ce n'est pas le même raisonnement


En effet, tu pars du fait que u est générateur. Or classe(1) apparaît dans Z/nZ, donc il est atteint par u après un certain nombre entier d'addition, on va dire p.

Donc on a bien l'existence d'un p tel que p*u = 1 (en classe) . Et après effectivement on déroule.

L'idée force ici est de se ramener à un générateur naturel de Z/nZ

[invite51a3f1d4]

Ah d'accord, j'ai compris. C'est très bizarre en tout cas car on s'attendrait plutôt à atteindre 0. Ce qui me gène un peu dans ce domaine, c'est la confusion entre la vision multiplicative et additive des choses. Comment faire pour que je ne m'embrouilles pas ?

[Gwyddon]

En fait là on n'utilise pas du tout la vision multiplicative, et ce qui t'a gêné c'est cette éventuelle confusion possible.

Bien sûr il existe un entier p tel que up=0 (et même que le plus petit c'est l'ordre du groupe), mais ça ne nous intéresse pas, car tu ne peux rien en faire de ça.

Par contre, comme u est générateur, il existe aussi un entier p' tel que p'. u = 1 : ça on peut en faire quelque chose (et ce p' n'est pas l'ordre de u a priori).

[invite51a3f1d4]

Oui, j'ai compris mais là je parlais dans un cas général et plus concernant cet exemple. (J'espère que je ne t'embetes pas avec toutes mes questions ...)