Fonction continue nulle part dérivable

[Romain-des-Bois]

Bonjour !

Je cherche à construire une fonction continue nulle part dérivable... Mon idée c'est d'avoir une fonction «affine par morceaux» et de multiplier les morceaux


Je construis comme cela :

( c'est ma fonction continue jamais dérivable ie )

Soit

Soit

définie par :

sur

sur

...

je distingue les cas :
si n pair
sur

si n impair
et


Alors est continue mais nulle part dérivable.

Qu'en pensez-vous ?

Merci


Romain
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[Romain-des-Bois]

Arrgh... je suis de moins en moins sûr de moi...

(je dis n'importe quoi !)


Romain

[invitec053041c]

Cherche du côté de la courbe de Bolzano .
Facile à construire et à montrer la continuité, pour ce qui est de la dérivabilité c'est un peu plus coton .

[Romain-des-Bois]

Merci mais j'avais déjà vu des trucs dans ce style ( par ici par exemple )

Moi, je veux construire ma propre fonction

Romain

[A voir en vidéo sur Futura]

[Romain-des-Bois]

Salut !

Bon, j'ai pas intéressé grand monde mais c'est pas grave

J'ai reétudié le truc... ma fonction n'est pas dérivable sur mais elle est dérivable sur les irrationnels. C'est déjà moche comme fonction, mais comme est dénombrable, c'est pas encore super super


Romain

[invite66b0c17a]

Tu as un exemple dans les grands classiques.

[invite35452583]

Salut !

Bon, j'ai pas intéressé grand monde mais c'est pas grave

J'ai reétudié le truc... ma fonction n'est pas dérivable sur mais elle est dérivable sur les irrationnels. C'est déjà moche comme fonction, mais comme est dénombrable, c'est pas encore super super


Romain

Es-tu sûr qu'elle converge ? ce n'est pas le cas en x=1 et x=1/2 par exemple. il faudrait par exemple diminuer le max de fn pour s'assurer la convergence.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je me souviens que jreeman avait lancé une discussion très similaire il y a longtemps sur les fonctions continues bijectives sur [0,1], cf http://forums.futura-sciences.com/thread89724.html

Sinon, j'avais rédigé un cours il y a longtemps où nous avions étudié en détail la fonction de Weierstrass, voir page 24 du cours http://www.math.uvsq.fr/~ervedoza/inde.en.html.

J'espère que ça te guidera un peu. Sinon, je pense que jreeman serait intéressé par ce genre de construction, tu peux peut-être le contacter en mail privé.

Cordialement,
rvz

[Romain-des-Bois]

S'lut !

J'ai regardé le lien... bon ma fonction est continue et pas bijective alors qu'il en voulait une pas continue et bijective Mais tu as raison, ça pourrait peut-être l'intéresser !

Merci pour le cours


Romain

[Romain-des-Bois]

Petite correction (personne suit dans l'assistance !)

(et on peut pas faire mieux) et ne converge pas. Bilan, ma série ne converge pas normalement.

Elle ne converge pas uniformément non plus puisque

Donc, on peut pas conclure quant à la continuité de

[invite35452583]

Petite correction (personne suit dans l'assistance !)

Il n'y a pas que dans l'assistance , message #7 :

Es-tu sûr qu'elle converge ? ce n'est pas le cas en x=1 et x=1/2 par exemple. il faudrait par exemple diminuer le max de fn pour s'assurer la convergence.

Avec cette correction tu dois aboutir à f continue partout, non dérivable en les rationnels autres que 0 et 1, dérivale en les irrationnels. Je ne crois que tu puisses faire mieux dans cette voie sans une modif non triviale.

[Romain-des-Bois]

Il n'y a pas que dans l'assistance , message #7 :

Ouh la ! J'avais "sauté" ton message Excuse moi !

Bon, petite modification triviale, au lieu de lui faire valoir 1 (on se comprend hein !), je lui fais valoir 1/n^2(on se comprend toujours !), comme ça, chaque fn est majorée par 1/n^2, d'où convergence normale donc uniforme et d'où continuité

Avec ça, elle est continue, et dérivable seulement en les irrationnels (et 0 et 1) déjà pas mal !


Merci pour ton coup de main !



Romain

[Quinto]

Merci mais j'avais déjà vu des trucs dans ce style ( par ici par exemple )

Moi, je veux construire ma propre fonction

Romain

Oui mais attention parce qu'ici ta fonction est continue partout et dérivable presque partout (mais pas partout sinon elle serait égale a l'intégrale de sa dérivée ce qui n'est manifestement pas le cas, sinon elle serait nulle p.p.).
Toi tu cherches une fonction continue partout et dérivable nul part.

++

[Quinto]

S'lut !

J'ai regardé le lien... bon ma fonction est continue et pas bijective

Romain

Une fonction continue et bijective va être strictement monotone et une fonction strictement monotone (même non continue) est dérivable presque partout (Théorème de Lebesgue).

Lebesgue l'a montré dans son cours de mesure dans le cas où f est continue mais on peut se passer ce cette hypothèse.

C'est un peu fatigant de chercher ce genre de fonctions
Tu devrais regarder du coté du théorème de Weiestrass (je crois) qui permet de construire ce genre de fonctions via des séries de la forme sin(a^n)b^(-n)
lorsque certaines conditions sont vérifiées sur a^n et 1/b^n on a toujours le résultat que tu souhaites.

[Quinto]

Un petit lien que je viens de trouver sur le sujet:
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9rivabilit%C3%A9

[Romain-des-Bois]

Oui mais attention parce qu'ici ta fonction est continue partout et dérivable presque partout (mais pas partout sinon elle serait égale a l'intégrale de sa dérivée ce qui n'est manifestement pas le cas, sinon elle serait nulle p.p.).
Toi tu cherches une fonction continue partout et dérivable nul part.

++

Salut et merci de t'être penché sur ma question

Au départ, je voulais construire une fonction continue et non-dérivable partout. J'ai bien vu que mon exemple mène à une fonction continue et non-dérivable seulement en les rationnels, mais c'est déjà pas mal Comme le dit homotopie, sans modification franche, impossible de faire mieux.

Une fonction continue et bijective va être strictement monotone et une fonction strictement monotone (même non continue) est dérivable presque partout (Théorème de Lebesgue).

Lebesgue l'a montré dans son cours de mesure dans le cas où f est continue mais on peut se passer ce cette hypothèse.

D'accord. Je vais voir tout ça cette année, il me semble.

C'est un peu fatigant de chercher ce genre de fonctions

Fatigant, mais rigolo

Tu devrais regarder du coté du théorème de Weiestrass (je crois) qui permet de construire ce genre de fonctions via des séries de la forme sin(a^n)b^(-n)
lorsque certaines conditions sont vérifiées sur a^n et 1/b^n on a toujours le résultat que tu souhaites.

C'est ce dont parlait rvz.

Un petit lien que je viens de trouver sur le sujet:
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9rivabilit%C3%A9

Ah oui... là, au moins c'est clair !

Je te re-cite :
"ta fonction est continue et dérivable presque partout"

C'est vrai que l'ensemble des points où ma fonction n'est pas dérivable est dénombrable () mais quand même : est dense dans . Je prends deux réels x et y dans [0;1], aussi proche que je veux l'un de l'autre (x<y quand même), alors il y a une infinité de points anguleux entre-eux !
C'est déjà bien moche, non ?
J'ai fait des représentations maple à plusieurs ordres (j'arrête ma somme à n), et même avec un n petit (10), c'est assez chaotique.

Pour moi, la densité de me fait penser que ma fonction est horrible (j'ai pu lire pathologique). Peut-être que finalement ce n'est pas si terrible C'est vrai que non-dérivable partout, c'est bien pire !


Romain

[martini_bird]

Salut,

il y a un exemple simple ici. Et sinon beaucoup d'autres dans ce mémoire.

Cordialement.

[Romain-des-Bois]

Salut,

il y a un exemple simple ici.

Salut !
J'avais vu cet exemple sur ton site

Et sinon beaucoup d'autres dans ce mémoire.

Merci beaucoup !

Je vais avoir de quoi potasser le sujet !


Romain

[martini_bird]

Je vais avoir de quoi potasser le sujet !

Le lien est donnée en bas de page de l'article, mais il n'est visible que si l'on passe la souris dessus. Faudrait que je règle ce problème à l'occaz...

Cordialement.

[invite35452583]

Bonjour Romain (et aux autres)

Au départ, je voulais construire une fonction continue et non-dérivable partout. J'ai bien vu que mon exemple mène à une fonction continue et non-dérivable seulement en les rationnels, mais c'est déjà pas mal Comme le dit homotopie, sans modification franche, impossible de faire mieux.

Oui mais il faut se méfier parfois je parle trop vite.
Tu pars de fonctions f_n. Leur max commun est 1, la pente à droite ou à gauche est en tout point égale à +/-n.
Pour faire converger une série de ces fonctions afin d'assurer l'exitence et la continuité, le recours a été de multiplier par le terme d'une série convergente (1/n² en l'occurence).
Ceci a le défaut que la pente de (1/n²)f_n est alors égale à+/-(1/n) ce qui peut éventuellement converger.
Pour espérer une non-dérivabilité il serait intéressant que les pentes soient égales aux termes d'une série divergente.
Pour cela, une 1ère idée (pas très bonne) est de diminuer le facteur multiplicatif (1/n²) mais on reste bloqué pour les pentes à des termes alternés dont la valeur absolue tend vers 0 ce qui peut éventuellement converger.
La seconde idée est que dans l'indice n apparaît deux fois. Je spolie le reste, histoire que ton but de trouver seul soit le plus accompli possible.
Modification de la série :

 Cliquez pour afficher

Une idée meilleure est de prendre
On a toujours une série absolument convergente mais cette fois les pentes sont égales à (n-1)!/n dont "les séries aussi alternées que possibles" divergent.

Pourquoi ce n'est dérivable nulle part
idée de la preuve :

 Cliquez pour afficher

retrouver une pente pour des éléments convergeants vers x égal à la somme partielle des 1ères pentes en faisant un choix judicieux et en utilisant la "périodicité" des fn

preuve elle-même :

 Cliquez pour afficher

Soit x un irrationnel compris entre 0 et 1.
On va exhiber une suite y_n (n>=1) convergente vers x tel que bref égal à la somme partielle des pentes en x de 1 à n.
Soit n un entier >2, on a l'intervalle formé par ces bornes est entièrement inclus dans [0,1] (d'où l'exclusion du cas x=1). La taille de cet intervalle est égale à 1/(n!)>2/(n+1)! donc x+2/(n+1)! ou x-2/(n+1)! est dans cet intervalle, on pose y_n égale à un tel réel.
Les intervalles du même type pour un rang k inférieur ou égal à n contenant x contiennent aussi y car contiennent tout l'intervalle [E(n!x)/n!;(E(n!x)+1)/n!] car k! divise n!. ainsi de k=1 à n
Pour un rang k>n, la fonction f_n! est telle que pour tout entier relatif m tel que x et x+2m/k! sont compris entre 0 et 1 alors f(x)=f(x+2mk!) donc f(y_n)=f(x+/-2/n!)=f(x+/-2(k!/n!)/k!)=f(x) donc
Il s'en suit que c'est une série dont le terme général (+/-(k-1)!/k diverge donc diverge f est donc non dérivable en x.
Pour x rationnel compris entre 0 et 1, il faut modifier ainsi : à partir d'un certain rang, f'_n!(x) n'existe plus car il y a une dérivée à gauche opposée à la dérivée à droite (ou seulemnt existence d'une des deux pour x=0 et x=1), par contre on peut imposer à y_n d'être toujours du même côté de x (contrairement aux irrationnels). Le même raisonnement s'implique ainsi avec cette petite modification.

[invite35452583]

Après un coup d'oeil au mémoire évoqué par Martini_Bird, on rejoint l'idée de Mc Carthy en fait.
C'est étrange que personne n'y ait pensé avant 1953 je trouve.

[Romain-des-Bois]

Bonjour Romain (et aux autres)

Salut !

La seconde idée est que dans l'indice n apparaît deux fois. Je spolie le reste, histoire que ton but de trouver seul soit le plus accompli possible.
Modification de la série :

Une idée meilleure est de prendre
On a toujours une série absolument convergente mais cette fois les pentes sont égales à (n-1)!/n dont "les séries aussi alternées que possibles" divergent

Euh... En fait, c'est cette idée que j'avais eue à mon message du 11/09 à 18h48 Mais tout en pensant que ce n'est dérivable qu'en les rationnels...

Bon apparemment, c'est dérivable nulle part ! tant mieux... Je vais regarder ta preuve !


Merci à toi


Romain

[Romain-des-Bois]

Sans entrer dans les détails, je comprend l'idée de ta preuve... je m'y pencherai plus sérieusement dessus plus tard.

C'est bien la fonction que tu proposes que j'avais construite (c'est vrai j'étais pas rentré dans les détails en disant "je lui fait valoir 1/n² au lieu de 1 )

Je suis bien content, j'ai réussi tout seul à construire une fonction dérivable nulle part Même si en fait, je croyais qu'elle était dérivable en les irrationnels

Merci pour ton aide

Romain