[Demo] bijection et réciproque

[anonymus]

Bonjour à tous.
J'ai une propriété sur la bijection et sa réciproque et la démonstration qui va avec, mais j'ai une autre idée de démo, bien plus simple. Je voulais donc savoir si elle était valide. Merci bien !

Propriété :
Soit f: E->F. S'il existe g:F->E tel que g o f = id et f o g = id alors f bijective et g =

Ma proposition de dém :

est surjective alors f surjective
est injective alors g injective
Donc f bijective.

f o g = id <=> o f o g = id o
existe car f bijective
Ainsi

[anonymus]

Excusez moi de paraître insistant, mais j'aimerai bien avoir une ptite réponse !
Merci encore

J'ai une autre question qui plus est.
Est-ce qu'on peut dire que l'équivalence est transitive ?
A <=> B
A <=> C
Donc B <=> C

[Romain-des-Bois]

J'ai pas regardé ta démo mais :

Est-ce qu'on peut dire que l'équivalence est transitive ?
A <=> B
A <=> C
Donc B <=> C

Oui, c'est bon !

[Romain-des-Bois]

Re !

Ta démo cloche par ici il me semble :

est surjective alors f surjective
est injective alors g injective
Donc f bijective.

f est surjective, g est injective donc... f est bijective

ensuite, je ne suis pas sûr du tout de :

g o f inj implique g inj

contre-exemple :
soit f de R dans [0;1]
g est injective de [0;1] dans I mais non-injective de R dans I
alors g o f est injective mais pas g

[anonymus]

Oups jme suis enmêlé les pinceaux !!!

gof = id injectif donc f injectif
fog = id surjectif donc f surjectif
donc f bijectif.

[Romain-des-Bois]

Oups jme suis enmêlé les pinceaux !!!

gof = id injectif donc f injectif
fog = id surjectif donc f surjectif
donc f bijectif.

OK...

Ta preuve est correcte alors !

Romain

[anonymus]

Même la deuxième partie ?

[Romain-des-Bois]

Bah oui !

En fait la deuxième partie, y a rien (je veux dire rien de compliqué). Une fois que tu as montré que f est bijective c'est fini.
Tu peux alors composer par f^-1 comme tu as fait, et c'est bon.



Romain

[Hakenaton]

tout à fait d'accord avec la démo !