Acp

[invited9f37326]

Bonjour,

J'étudie actuellement les ACP mais je dois avouer que certaines étapes de calcul sont quelque peu obscures.
1) Tout d'abord, si j'ai bien compris, on calcule la matrice de corrélation R. C'est la diagonalisation de cette matrice qui nous donne les valeurs propres. Puis on calcule les vecteurs propres associés à chaque valeur propre ? Les valeurs propres nous donnent alors les facteurs principaux et les vecteurs propres associés, les axes principaux de l'ACP. Pourquoi dans certains bouquins, ils utilisent la matrice de variance-covariance V pour cela ?
2) Pour trouver les composantes principales, on multiplie la matrice de données par les vecteurs propres associées aux valeurs propres engendrant la plus grande part d'inertie cumulée ?
3) Pour examiner la qualité de la représentation, on calcule le cosinus carré de l'angle entre le caractère et sa projection sur le plan principal (car il ne faut pas confondre proximité dans le plan et proximité dans l'espace). Concrètement, cela à diviser le produit scalaire par le produit des normes et à l'élever au carré mais en pratique comment dois-je faire à partir de mes données ?
4) Quelqu'un pourrait proposer une petite matrice 3x3 sur laquelle on pourrait essayer de réduire la représentation à 2 dimensions pour s'exercer ?

Cordialement
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[invited9f37326]

Comme personne n'a répondu à mes questions mais qu'entre temps, j'ai approfondi le sujet, je vais donc y répondre moi-même.
1) Oui. La matrice des corrélations est la matrice des variances normalisée.
2) Oui.
3) En réalité, cela revient se demander quelles part d'originalité est conservée lors de la projection. C'est donc le rapport de la longueur réelle dans l'espace sur celle dans le plan. Comme la projection est orthogonale, cela revient à faire le rapport entre le côté adjacent et l'hypothénus du triangle créé par projection. On élève au carré pour s'affranchir des signes. Plus la valeur est proche de 1, plus le point est proche du plan donc plus la distortion liée à la projection est faible.
4) Bon bah ça sert plus à rien !!

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[invite986312212]

On élève au carré pour s'affranchir des signes.

c'est surtout parce que les sommes de carrés, et les rapports de sommes de carrés, ça a une distribution qui se calcule bien (Chi-2, Fisher-Snedecor)