Valeur d'une intégrale si un paramètre tend vers l'infini

[Lévesque]

Bonjour,

dans un livre de physique, j'ai la relation suivante sans étape intermédiaire:



Je me rappelle vaguement un calcul que mon prof avait fait, en réécrivant la fonction à intégrer comme un polynôme en t... Si ça vous dit quelque chose, peut-être pourriez-vous m'aider.

Sinon, j'aurais intuitivement le gout de résoudre comme suit. Pourrais-je écrire quelque chose du genre:

?

J'ai l'impression que la fonction exponentielle écrase tellement la racine quand t est grand, que le comportement de la fonction à intégrer selon E est presque celui de l'exponentielle. Mais bon, tout ça n'est pas trop rigoureux. Vous en pensez quoi?

Merci!

Simon

mots clés : Peskin & Schroeder equation (2.51)
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[Coincoin]

Salut,

J'ai l'impression que la fonction exponentielle écrase tellement la racine quand t est grand, que le comportement de la fonction à intégrer selon E est presque celui de l'exponentielle. Mais bon, tout ça n'est pas trop rigoureux. Vous en pensez quoi?

Je dirais quelque chose du genre. La fonction exponentielle tue tout quand t tend vers l'infini, il ne reste que le tout premier point. Mais c'est clairement très sale comme raisonnement.

[Médiat]

Que représente le i dans l'intégrale ? S'il s'agit de l'imaginaire i (i² = -1), l'exponentielle n'écrase plus grand-chose.

[invitee3d9cc61]

Si il s'agit de l'imaginaire i, la fonction à intégrer ne converge pas vers 0 quand E tend vers l'infini, ce qui est une condition nécessaire pour que l'intégrale existe.

Si i n'est pas un imaginaire, tu peux faire un changement de variable, v²=E²-m², et tu te rameneras à l'intégrale d'une fonction de la forme v*exp(-v) (tout au moins par équivalence) et tu trouves facilement la valeur de l'intégrale avec une intégration par parties.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lévesque]

Si i n'est pas un imaginaire, tu peux faire un changement de variable, ... et tu trouves facilement la valeur de l'intégrale avec une intégration par parties.

Bonjour,

i est racine(-1)...

J'ai pensé peut-être faire un graphique de la fonction à intégrer, et le comparer au graphique de l'exponentielle seule lorsque t est très grand... déjà ça pourrait être plus propre si les fonctions sont visuellement très proches.

Sinon, personne n'a d'idée pour approximer rigoureusement cette intégrale?

Cordialement,

Simon

[Gwyddon]

Une idée en passant, vite fait : il n'y aurait pas un coup de méthode du col derrière ?

[Lévesque]

Une idée en passant, vite fait : il n'y aurait pas un coup de méthode du col derrière ?

Oh, je ne connaissais pas cette méthode, mais ça m'a l'air tout à fait approprié!

Merci beaucoup Gwyddon

[gatsu]

Oh, je ne connaissais pas cette méthode, mais ça m'a l'air tout à fait approprié!

Merci beaucoup Gwyddon

Euh..je vois pas trop comment utiliser la méthode du col de façon rigoureuse là . J'y avais pensé mais je vois pas.
Usuellement cette méthode s'utilise pour des intégrales dans le plan complexe du type

où est analytique sur chemin d'intégration.
Ce qui n'est pas trop le cas ici (en tout cas ce n'est pas explicite).
En outre je crois que dans le plan complexe la partie en pose problème, il doit y avoir des lignes de branchements ou un truc comme ça.

[Lévesque]

Euh..je vois pas trop comment utiliser la méthode du col de façon rigoureuse là . J'y avais pensé mais je vois pas.

J'ai seulement regardé sur wikipédia, et la forme de l'intégrale me semblait exactement celle qui m'occupe:

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_du_point_col

non?

Cordialement,

Simon
PS: je n'ai pas encore eu le temps de m'y pencher sérieusement.

[edpiste]

J'ai toujours pas compris quel sens était donné à cette intégrale. Partie finie ? Transformée de Fourier d'une distribution tempérée ?

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Sauf erreur, via des intégrations par parties, on peut donner un sens à cette intégrale au sens des intégrales oscillantes (cf n'importe quel cours d'analyse microlocale). Après, c'est assez technique, et je ne me souviens plus assez des détails pour les raconter ici.

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rvz

[Lévesque]

J'ai toujours pas compris quel sens était donné à cette intégrale. Partie finie ? Transformée de Fourier d'une distribution tempérée ?

Salut,

il s'agit du produit scalaire de deux états de Fock :



où est l'opérateur (lié à un champ scalaire réel) qui crée une particule à la position x.

Voir Peskin et Schroeder, p. 27, pour plus de détails.

Cordialement,

Simon

[invite54165721]

il s'agit du produit scalaire de deux états de Fock :



où est l'opérateur (lié à un champ scalaire réel) qui crée une particule à la position x.

Voir Peskin et Schroeder, p. 27, pour plus de détails.

Cordialement,

Simon

Bonjour Lévesque

Avez vous trouvé une réponse à la question?

J'ai bien relancé le pb sur le forum de physique, mais il n'y a pas eu de réponse.

On peut se demander pourquoi le problème physique qui se pose d'une façon simplissime (probabilité de trouver une particule au meme endroit plus tard) ne trouve pas une réponse.
Même si le problème a une solution complexe (fonctions de bessel?) c'est quand même inquiétant pour des jeunes gens, curieux de mécanique quantique, de voir qu'on met sous le tapis des questions de base et qu'on passe à la suite.

[Lévesque]

Salut,

je n'ai toujours pas eu le temps d'y revenir. J'ai emprunté trois livres à la bibli sur les expansions asymptotiques, mais ça m'a l'air relativement compliqué. On ne pourrait pas résoudre exactement cette intégrale à l'aide de fonctions de Bessel? (Voir par exemple le problème 2.3 de Peskin et Schroeder).

Cordialement,

Simon