Salut,
Soient E un espace vectoreil.
On sait qu'une nrome définit sur E est une fonction, qu'on note f(.), de E a valeurs réels positives, telleque :
f(x)=0 <=> x=0
f (x+y)< ou = f(x)+f(y)
f(a x)=a x pour tout scalaire a de R.
Ma quetion est :
Est ce qu'il exite une norme f (.)sur E , telle que :
1-) f est de la forme : f(x, m) où m est un réel dans ]0,1].
2-) et si m tend vers 0 alors f(x, m) tend vers l'infini pour tout x dans E.
Merci
J'ai oublié la troisieme condition et ka plus importante :
3-) f(x, m1+m2) > ou = a f(x,m1)+f(x,m2)
sachant que m1+m2 < m1 et m1+m2 <m2
Salut,
je ne comprends pas ce que tu veux dire. Quel est ce m? Tu dis que f(x,m) tend vers l'infini quand m tend vers 0, ceci pour tout x, je ne vois pas du tout ce que ça veut dire... Tu as une fonction d'une seule variable, et tu en introduis une autre m...
salut,
On peut dire que c'est une fonction paramétrée, en fixant m ça donne une fonction d'une seule variable.
avec f(x,m1+m2)<ou= f(x,m1)+f(x,m2)
tel que : m1+m2<m1 et m1+m2<m2
l'obstacle est dan,s cette condition.
Oui mais d'une part: tu fixes m=combien pour avoir f(x,m)=norme(x)? parce qu'a priori f(x,m) est différent de f(x,m') donc je vois pas comment tu peux avoir une définition univoque de f(x) à partir d'une fonction de deux variables, et d'autre part dans l'inégalité que tu demandes tu veux avoir m1<0 et m2<0 alors que tu demandes que m se balade dans ]0,1]...
J'oublie les autres conditions puisqu'elles impliquent que m1 et m2 soient négatifs ce qui est rare pour des nombres appartenant à ]0; 1], comme l'a noté GaryO.Envoyé par ergo-man
Soit x un vecteur différent de 0, et mn une suite qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini, alors
f(x, k+mn) >= f(x, k) + f(x, mn), or
f(x, k+mn) tend vers f(x, k) et celui de droite vers f(x, k) + infini, c'est à dire vers l'infini. A toi de conclure...
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ooops : mon explication précédente n'est pas très rigoureuse (rien ne dit que f (x, m) doit être continue en m).
Par contre il suffit de constater que f(x, n.m) >= n.f(x, m) et en posant m = 1/n on obtient f(x, 1) >= n.f(x, 1/n), et la limite du membre de droite quand n tend vers l'infini est l'infini, ce qui n'est pas le cas du membre de gauche qui est un réel constant.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Tu prends N une norme déjà existante et tu pose 1/m * N ta nouvelle norme?
Cela ne vérifie pas f(x, m1+m2) >= f(x,m1)+f(x,m2)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
m1 + m2 >= m2
donc 1/(m1+m2) <= 1/m2 <= 1/m2 + 1/m1.
CQFD
Donc, la condition qui doit être vérifiée ne serait-elle pas plutôt l'inverse?
Je dois être bête, mais je ne comprends vraiment pas comment on peut définir une norme avec une fonction de deux variables.
Comment est définie norme de x en fontion de f?
C'est une famille de normes paramétrée par m (pour chaque valeur de m tu as une norme différente).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui c'est ce que je me disais finalement, j'était gêné parce qu'ergo-man parle d'une norme.
Ok
Maintenant, c'estq uoi la condition ?
le message #4 :
L'exemple d'indian58 fonctionne dans ce cas.
ou le message 2 ? :
Dans ce cas, non ce n'est pas possible et ce n'est pas un problème de norme.
Déjà, f(0E,m)=0 donc il est difficile de le faire converger vers +infini.
Il faut éliminer 0 je suppose que ce n'est qu'un simple oubli.
Ce n'est toujours pas possible :
On pose pour x non nul g(m)=f(x,m)
g est une fonction croissante (ça va être dur de converger vers + inf quand m tend vers 0+) :
en effet, soit m<m', on a : g(m)<=g(m)+g(m'-m)=f(x,m)+f(x,m'-m)<=f(x,m+(m'-m))=f(x,m')=g(m').
f(x,m) est borné par f(x,1) pour tout x.
Salut,
Je suis désolé car j'ai vraiment mal poser mon prbleme,
Oui, comme le dit Médiat, c'est une famille de norme paramétrées, sauf l'application de cette famille de normes dans mon travail donnenera une norme unique.
Je signale aussi la bonne remarque de Idiane58, il a bien détécté l'hypothèse de la condition.
Dans mon travail, à chaque x de l'espace vectoriel E on lui associer un nombre réel m(x) qui est dans ]0,1] (c'est la structure de l'espace E).
tel que :
m(x+y)<=m(x) et m(x+y)<=m(y)
tel que : m(a x)=m(x)
donc je veux trouver une norme f(.) (où le parametre m(.) apparét) telque :
f(x+y, m(x+y))<= f(x, m(x))+f(y , m(y))
l'exemple que j'ai trouvé (mais ça marche pas ) !
f(x, m(x))= -log m(x) + g(x)
où g(.) est norme usuelle sur mon espace.
le probleme c'est que :
f( a x, m(ax)) n'egal pas a f(x, m(x))
car j'ai déjà imposé que : m(a x) = m(x)
m est alors constante, en effet :
m(y)=m(x+(y-x))<=m(x) et m(x)=m(y+(x-y)<=m(y) donc m(x)=m(y) pour tous x,y.
Merci Homotopie,
je vais encore reflechir sur ta remarque,
peut etre c'est la cause que cette norme n'existe pas !
Thank's
