Topologie produit !

[chentouf]

Bonjour:
Définition:
Soient et deux espaces topologiques.
Un ouvert élémentaire de est un rectangle de la forme avec un ouvert de et un ouvert de .
Un ouvert de est une reunion quelconque de rectangles.
i.e :
est un ouvert si un ouvert de un ouvert de tel que : .
Les ouverts ainsi définis constitue une topologie sur appelée la topologie produit.

Question :
Est ce qu'une intersection fini de rectangles n'est pas necessairement un ouvert de la topologie produit .. c'est ce que notre prof nous a dit un jour, si je me rappelle bien ... Est ce que celà est vrai ?
Merci infiniment !!

[Médiat]

Question :
Est ce qu'une intersection fini de rectangles n'est pas necessairement un ouvert de la topologie produit .. c'est ce que notre prof nous a dit un jour, si je me rappelle bien ... Est ce que celà est vrai ?

Une intersection finie d'ouverts est un ouvert dans toutes les topologies, je ne vois pas où est le problème (si tu parles bien de "rectangles" ouverts) ....

[chentouf]

D'accord, Mediat, merci !!
C'est peut être moi qui a mal entendu ce que le prof a dit !!
Merci en tous cas !!

[Romain-des-Bois]

Salut !

Si pour toi un rectangle c'est AxB avec A et B ouverts, alors oui toute intersection finie de rectangles est un ouvert

mais si un rectangle c'est juste AxB (sans préciser si A et B sont ouverts), alors tu ne peux rien dire en général sur l'intersection finie de rectangles.

Il y a aussi : l'intersection infinie d'ouverts peut être un fermé (penser à ]-n;n[ dans IR)


Romain

[chentouf]

Bonjour :
Comment on construit la topologie usuelle de ?
Merci d'avance !!

[Médiat]

Comment on construit la topologie usuelle de ?

C'est la topologie induite par la distance.

[chentouf]

Est ce que c'est pas la topologie qui contient les ouverts engendré par les boules ( les intevalles ouverts ) c'est à dire chaque ouverts est reunion quelconque de ces boules !! C'est ça la definition de la topologie usuelle ?!

[Médiat]

Est ce que c'est pas la topologie qui contient les ouverts engendré par les boules ( les intevalles ouverts ) c'est à dire chaque ouverts est reunion quelconque de ces boules !! C'est ça la definition de la topologie usuelle ?!

Oui, c'est bien cela

[chentouf]

Bonjour :
Soient et deux espaces topologiques ( est séparé ).
Soient une application quelconque et son graphe
Montrer que :
est continue est fermé dans .
Je ne vois pas par quoi commencer, est ce que vous pouvez m'aider ?!
Merci infiniment !!

[chentouf]

Help pls, par quoi il faut commencer ?!

[homotopie]

Bonjour :
Soient et deux espaces topologiques ( est séparé ).
Soient une application quelconque et son graphe
Montrer que :
est continue est fermé dans .
Je ne vois pas par quoi commencer, est ce que vous pouvez m'aider ?!
Merci infiniment !!

Un fermé est le complémentaire d'un ouvert. Il faut donc montrer que pour un point (x,y) tel que y soit distinct de f(x) alors il existe UxV contenant (x,y) ne coupant pas le graphe. Pour trouver ces ouverts U et V, il faut utiliser la séparabilité et la continuité. Faire un dessin d'un graphe d'une fonction continue de R dans R aide à trouver le cas général.

[homotopie]

Est ce que c'est pas la topologie qui contient les ouverts engendré par les boules ( les intevalles ouverts ) c'est à dire chaque ouverts est reunion quelconque de ces boules !! C'est ça la definition de la topologie usuelle ?!

On peut aussi la définir comme la topologie de l'ordre qui dit que les intervalles ouverts (au sens de l'ordre) ]a,b[={x ; a<x<b} forment une base de voisinage : i) U contenant x est un voinage ouvert ssi il contient un intervalle contenant lui-même x
ii) un sous-ensemble est un ouvert ssi il est un voisinage de chacun de ces points.

[homotopie]

Une intersection finie d'ouverts est un ouvert dans toutes les topologies, je ne vois pas où est le problème (si tu parles bien de "rectangles" ouverts) ....

Le problème est que ce n'est pas parce qu'on appelle les rectangles UxV ouverts qu'ils sont des bons ouverts pour une topologie.
Il faut vérifier ceci :

Un ouvert de est une reunion quelconque de rectangles.
i.e :
est un ouvert si un ouvert de un ouvert de tel que : .
Les ouverts ainsi définis constitue une topologie sur appelée la topologie produit.

Autrement dit les rectangles ouverts forment une base de voisnages d'une topologie. Pour cela il faut que leur intersection finie reste dans la famille des rectangles ouverts. Sinon, la condition ci-dessus s'écrit avec des intersections et çà commence à devenir dur à manipuler.
Question :
Est ce qu'une intersection fini de rectangles n'est pas necessairement un ouvert de la topologie produit .. c'est ce que notre prof nous a dit un jour, si je me rappelle bien ... Est ce que celà est vrai ?
[/QUOTE]
Si ce sont des rectangles ouverts si !
L'intersection de UxV avec U'xV' est un rectangle ouvert ? oui c'est égal à (U inter U')x(V inter V'). ceci se généralise à l'intersection finie de rectangles, si chacun d'eux est un rectangle ouvert alors les deux intersections (car finies) sont ouvertes.

[chentouf]

Montrons que : est fermé, c'est à dire : est ouvert.

Soit

Alors : .

deux ouverts tels que : et et .

Puisque est continue : un ouvert de tel que :

Par conséquent :

C'est à dire :


D'ou :
Est ce que c'est ça le raisonnement ?!
Merci d'avance !!

[homotopie]

Le raisonnement c'est ça à part ici

Par conséquent :

c'est .