exercice d'algebre

[inviteb595f793]

bonjour

j'ai un exercice ou je bloque dès la seconde question
si vous pouvez m'aider ce serais sympa
voici l'énoncé:

[ Cet exercice sera d'abord traité dans le plan cartésien euclédien (v=a+ib , p=r+is , z=x+iy écrits en coordonnées v=(a,b),p=(r,s),z=(x,y)...)pui s en notation complexe.]

Soit v different de 0 un vecteur non nul et p un point du plan complexe.

- 1/ prouver que z est sur la droite d orthogonale à v passant par p si et seulement si <v,z>=<v,p>.

Soit v=3+4i, u=4-3i, p=2+i, p'=1+8i:
- 2/ déterminer ainsi des équations des droites d et l passant par p et orthogonales à v et u et des droites d',l' passant par p' et orthogonales à v et u.
- 3/ de ces équations déterminer si d et d' (resp.l et l')se coupent.Le résultat était il attendu?
- 4/ déterminer les points communs à d et l' d'une part et à l et d' d'autre part.

- 5/ soit m un point du plan complexe.Prouver qu'il y a un unique réel t tel que, si h=m+tv on a <v,h>=<v,p>.
- 6/ donner la valeur de t et de |h-m|
- 7/ prouver que si <v,z>=<v,p> alors <h-m,z-h>=0
- 8/ prouver que si z est sur la droite d alors |z-m|²=|z-h|²+|h-m|² supéreur ou égal à|z-h|²

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ce que j'ai réussi a faire :

1:<v,z>=<v,p> donc <v,z>-<v,p>=0 d'ou ||vz||-||vp||=|v|-|vp|=0 donc on a z-v+v-p=0 dc z=p dc z est sur la droite p (je ne suis pas sur a 100% de ce que j'ai fait)

2:je n'arrive pas a trouver une méthode pour pouvoir calculer ces équation avec les complexes de u et v et celui de p

5:je pense qu'il faut utiliser cela:soit z et z' 2 complexes tq det(z,z')=0 alors z et z' sont colinéaires donc il existe un réel t tel que z'=tz


MERCI de votre aide
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[indian58]

1) z est sur la droite d orthogonale à v passant par p si et seulement si le vecteur z-d est orthogonal à v i.e <z-p,v> = 0 i.e. <z,v> = <p,v>.

2) ben, tu utilises le 1) en calculant les produits scalaires.

3)
Analyse : s'il existe un tel t alors <v,h> = <v,p> <=> <v,m> + t<v,v> = <v,p>
<=> t*|v|² = <v,p-m> <=> t = <v,p-m>/|v|² car v non nul. Donc t, s'il existe est unique.
Synthèse : montrons réciproquement que t = <v,p-m>/|v|² convient. En remontant les calculs précédents on voit que ce t convient.

Donc, il existe bien un unique t vérifiant les conditions demandées.

[inviteb595f793]

merci mais dans la reponse 1 tu met à v i.e <z-p,v> = 0 i.e. <z,v> = <p,v> . je ne comprend pas ce que ve dire i.e

[inviteb595f793]

et dans la 2 tu calcule les produits scalaires de U et V ? mais avec cela comment trouver l'équation de d passant par p?

[A voir en vidéo sur Futura]

[indian58]

1) i.e. signifie c'est-à-dire

2) tu veux déterminer l'équation de la droite d passant par p et orthogonale à v?

M (x,y) appartient à cette droite si et seulement si <v,z> = <v,p> d'après 1)
i.e. ax+by=<v,p> avec v de coordonnées (a,b). La voilà ton équation!

[inviteb595f793]

désolé mais tu peut pas me faire le calcul pour une équation car je n'y arrive pas
Merci

[indian58]

Je l'ai fait : tu notes (a,b) les coordonnées de v. Alors un point M de coordonnées (x,y) (coordonnées a priori quelconques et tu cherches une relation entre x et y) vérifie <v,M> = <v,p> i.ec <v,p> = ax+by. <v,p> est un réel contant. Donc ton équation est ax+by= <v,p>.


Dsl mais je ne peux pas faire plus simple.

[inviteb595f793]

oui je suis d'accord mais comment trouve tu la valeur de a et b ?

[inviteb595f793]

par exemple si v(2,3) et m(4,2)
on a ax+by=2*4 + 3*2 = 13
L'équation est donc ax+by=13 c'est ça ?

[indian58]

par exemple si v(2,3) et m(4,2)
on a ax+by=2*4 + 3*2 = 13
L'équation est donc ax+by=13 c'est ça ?

Ouais mais c'est p(4,2).

[inviteb595f793]

d'accord merci bien