Défi de divisibilité

[MMu]

Soit un polynôme de degré à coefficients entiers tel que pour tout entier est divisible par .
Montrer que tous les coefficients de sont divisibles par .
(Je vous assure qu'à l'IMC 2007 il y a eu un problème plus simple que ça ! )

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[indian58]

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Hum...je suis pas très sûr mais en notant P= Somme(i=0...40, P(i)*produit(mdifférent de i, (m-X)/(m-i) )), on a directement que les coeff sont divisibles par 41?

[invite78df7f0b]

Je ne crois pas que tu puisses conclure en écrivant ton polynôme sur une base de Lagrange (au fait, ta somme va de 0 à 37 )
Parce que là si tu regardes les coefficients en développant le produit, ça a une sale tête quand même, je vois pas pourquoi ce serait des entiers a priori.
D'autant plus que tu n'utilises pas du tout le degré 37 du polynôme, ce qui me paraît louche

[Médiat]

Je partirais plutôt sur l'étude des polynômes identiquement nuls dans le corps (le polynôme en question aurait plus que 37 racines, ce qui doit être,àmha, impossible pour un polynôme de degré 37 sur un corps commutatif)

[A voir en vidéo sur Futura]

[indian58]

Je partirais plutôt sur l'étude des polynômes identiquement nuls dans le corps (le polynôme en question aurait plus que 37 racines, ce qui doit être,àmha, impossible pour un polynôme de degré 37 sur un corps commutatif)

NON!! J'y ai pensé mais dans Z/41Z[X], le polynôme X^40-X n'est pas nul mais sa fonction polynomiale aoosicée admet 41 racines!

[indian58]

Je ne crois pas que tu puisses conclure en écrivant ton polynôme sur une base de Lagrange (au fait, ta somme va de 0 à 37 )
Parce que là si tu regardes les coefficients en développant le produit, ça a une sale tête quand même, je vois pas pourquoi ce serait des entiers a priori.
D'autant plus que tu n'utilises pas du tout le degré 37 du polynôme, ce qui me paraît louche

Voyons, ce n'est pas sûr que je puisse interpoler sur 38 points (puisque dans Z/41Z[X], a priori, polynôme et fonction polynômiale ne sont pas les mêmes). En revanche, Z/41Z admet 41 points, donc en interpolant sur les 41 points, je suis sûr de ne pas me tromper!! Après est-ce que mes fractions d'entiers sont bien des entiers, c'est autre chose. Je ne sais pas trop, je n'y ai pas réfléchi.

[indian58]

NON!! J'y ai pensé mais dans Z/41Z[X], le polynôme X^40-1 n'est pas nul mais sa fonction polynomiale aoosicée admet 41 racines!

Désolé pour l'étourderie.

[indian58]

Voyons, ce n'est pas sûr que je puisse interpoler sur 38 points (puisque dans Z/41Z[X], a priori, polynôme et fonction polynômiale ne sont pas les mêmes). En revanche, Z/41Z admet 41 points, donc en interpolant sur les 41 points, je suis sûr de ne pas me tromper!! Après est-ce que mes fractions d'entiers sont bien des entiers, c'est autre chose. Je ne sais pas trop, je n'y ai pas réfléchi.

Oups, oubliez mon polynôme : deux polynômes peuvent avoir la même fonction polynomiale!

[indian58]

NON!! J'y ai pensé mais dans Z/41Z[X], le polynôme X^41-X n'est pas nul mais sa fonction polynomiale est nulle

Vraiment désolé pour cette énième étourderie.

[indian58]

Cependant, on peut effeoctivement factoriser un polynôme quand on a une racine car Z/41Z est un corps commutatif. Donc, puisqu'il y a stritctement plus de racines que le degré. On a notre résultat.

Au temps pour moi.

[Seirios]

Je remonte le sujet pour poser une question : Pourquoi suppose-t-on le polynôme de degré 37 ? Puisque est un corps, un polynôme non nul de possède un nombre fini de racines, donc le résultat devrait être vrai quelque soit le degré du polynôme initial, non ?

[AIB]

Bonsoir,

P(0) , P'(0) , P"(0), ... sont divisibles par 41 (nombre premier) qui ne divise pas 37!

[invite2e5fadca]

Le résultat est juste tant que le degré de P est plus petit strictement que 41. Je pense que le but était d'induire les personnes sur une mauvaise piste.

[AIB]

Bonjour,

voici une solution plus claire et simple , on pose suivant le schéma de Hôrner :

P₃₇(X)=(P₃₆(X))*X + a₀

et de façon générale :
P_n(X)=(P_n-1(X))*X + a_37-n

Pour n=37 jusqu'à n=0, on détermine que a_37-n est divisible par 41 en choisissant X= 41 et on déduit que P_n-1(X) est divisible par 41
en choisissant X non multiple de 41.