Calcul de limite

[invite54b815e1]

Bonjour !

Voici un calcul de limite que je n'arrive pas à comprendre :

lim (n->oo)

Voila ce que j'ai essayé :

Theoreme des gendarmes :

< <???

Le terme de gauche est égal à qui tend vers 0. Il me reste a trouver un terme plus grand ou égal à qui tend vers 0 mais je n'arrive pas à en trouver. J'ai la solution que je ne comprends pas :
On écrit la limite comme lim (n->oo)
On note [a] la partie entiere d'un réel a.
(*) n! > .......n >= >=

C'est la partie juste au dessus que je ne comprends pas (*), quand on dit que n! est plus grand que

Alors pour tout n on a

0 <= <=

comme le terme de droite tends vers 0 quand n tends vers l'infini, le théorème des gendarmes implique lim (n->oo) = 0


Si quelqu'un peut m'expliquer la partie (*) ou alors si vous avez une autre méthode je suis preneur, merci d'avance !
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[Jeanpaul]

Pourquoi ne passes-tu pas par les logarithmes ?
Il est assez simple de trouver un encadrement de la somme Log(2) + Log(3) +...Log(n)

[invite4ef352d8]

Salut !


la minoration ne sert à rien : tu sais déja que la suite est postive autant minorer par 0.


je te propose de choisir un enter k, de de majorer Un par la suite 1/(2*3*4..*k*k*k..*k)^(1/n)

qui tend vers 1/k

apres une petite manip permet rapidement de conclue que la suite tend vers 0.

[Flyingsquirrel]

Bonsoir,

Quelque explications pour (*):


Si est un entier pair, est un entier ( ) qui est plus petit que donc on le retrouve dans

donc
Les termes sont supérieurs ou égaux à d'où


Maintenant, si est impair, on ne retrouve plus (qui n'est pas entier) dans mais
Du coup on obtient

Le produit contient termes tous supérieurs ou égaux à d'où


On peut finalement conclure pour quelconque avec

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54b815e1]

Merci pour ces réponses rapides !

Jean-Paul : Si je passe au logarithme dans la limite, je dois montrer que ce logarithme tends vers moins l'infini ? (Puisque la limite cherchée vaut 0). Ou alors je dois faire un encadrement pour utiliser le théorème des gendarmes ? J'ai un peu du mal avec cette technique des logarithmes.

KSilver : Tu dis que je peux majorer 1/(2*3*4..*n-1*n)^(1/n) par
1/(2*3*4..*k*k*k..*k)^(1/n) , pour ca c'est OK. Donc ma suite est minorée par 0 est majoré par 1/(2*3*4..*k*k*k..*k)^(1/n) mais comment on arrive a montrer que ca tends vers 1/k ? De la je comprends qu'on dit que 1/k tends vers 0 si on choisit k "assez grand".

Flyingsquirrel : Merci pour cette explication très claire, je retiendrais la demonstration.

[Jeanpaul]

Fais un tout petit dessin et tu verras que (Log(2) + Log(3) + ... Log(n) ) est plus grand que l'intégrale de Log(x) entre 1 et n, qui se calcule aisément.
Le reste est immédiat.

[invite4ef352d8]

"mais comment on arrive a montrer que ca tends vers 1/k ?" >>> assez simplement, tu a une parti 1/(1*2...*(k-1))^(1/n) qui tend vers 1 (un truc constant à la puissance 1/n...)

et une partie 1/k^((n-k)/n), qui tend vers 1/k.


De la je comprends qu'on dit que 1/k tends vers 0 si on choisit k "assez grand".>>> je ne sais pas a quoi tu pense, ce passage est un poil plus subtil :
on a pour tous une suite Vn telle
Un<Vn -> 1/k donc a partir d'un certain rang n0, Vn<2/k

donc pour tous k, il existe n0 telle que pour n>no : Un<1/k

prend garde au raisonement du type "donc la limite de Un est plus petite que 1/k quelque soit k, elle vaut donc 0" qui sont faux car on ne sais pas si Un converge a priori...

[invite54b815e1]

Merci KSilver c'est très clair, et je trouve que cette méthode est très simple.

Merci Jean-Paul : "Fais un tout petit dessin et tu verras que (Log(2) + Log(3) + ... Log(n) ) est plus grand que l'intégrale de Log(x) entre 1 et n"

Je pose :



Le membre de gauche tends vers 0 (...) mais celui de droite tends vers l'infini quand n tends vers l'infini ! (tout comme celui du milieu). En fait je vois pas à quoi on veut arriver avec ces logarythmes...

Merci à tous !