Les suites
Bonjour j'aurais besoin d'une correction et d'un peu d'aide.
prix d'équilibre:
Les fabricants d'ordinateurs portables vendent leurs machines à un prix P, l'année n. Les quantités offertes On sont fonction du prix Pn-1 (à l'année n-1), ceci du fait des délais de fabrication. Les quantités demandées Dn sur le marché sont, elles, fonction du prix Pn au cours de l'année n. les fabricants recherchent l'équilibre du marché, c'est-à-dire qu'à chaque année n on ait On=Dn pour qu'il n'y ait pas de stock.
On a le système: On= 2Pn-1 -10 avec n stricement supérieur ou égal à 1
Dn= -3Pn +140 avec n supérieur ou égal a 0.
Pn est exprimé en centaines d'euros, On et Dn en ceinteines d'unités.
1 a/ sur un document joint il y a représenté les droites d'équations y=2x-10 et y=-3x+140.
dféterminer les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.
b/On a Po=15, déterminer la valeur O1 O1 est représenté sur le graphique (O1=20)
Les quantités offertes doivent chaque année être égales aux quantités demandées, donc en particulier O1=D1. En utilisant D1, on a repréenté P1 sur le graphique (P1=40)
Ce prix P1 détermine une offre O2 qui doit etre égale à D2. Cette valeur déclenche alors un prix P2 le représenter sur le graphique ainsi que P3 et P4 (c'est fait)
Peut-on émettre une conjecture quant à la limite de la suite (Pn)?
2 a/ dans l'hipothèse d'équilibre soit On=Dn démontrer sur Pn= (-2/3)Pn-1 +50 avec n supérieur ou égale à 1.
b/ (Un) est la suite définie pour n supérieur ou égale à 0 par Un=Pn -30 Démontrer que (Un) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
c/exprimer Un en fonction de n et montrer que Pn=30 - 15 (-2/3)^n pour n supérieur ou égale à 0
d/déterminer la limite P de la suite (Pn) pour ce prix d'équilibre P quelles sont alors les quantités offertes et demandées?
Réponses:
1. a/ j'ai résouds le système: y=2x-10
y=-3x+140
donc y=2x-10
2x-10=-3x+140 soit 5x=150 donc x=30
et ensuite on remplace dans la première équation pour trouver y:
y=(2*30)-10
y=50
Les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites est A(30;50)
b/ d'après l'énoncé P0=15 et On= 2Pn-1 -10
donc O1= (2*15)-10 = 20
O1= 20
Pour la conjecture j'ai trouvé que les Pn se rapprocher justement au point d'intersection des deux droites c'est-à-dire A(30;50)
2a/ On= Dn
2pn-1 -10= -3Pn +140
soit: 3Pn= -2Pn-1 +150
donc Pn= -(2/3)Pn-1 +50
b/ (Un) est la suite par Un=Pn-30
Nous devons démontrer que (Un) est une suite géométrique donc que Un+1=Un*q
donc Un+1=Pn+1 -30
Cependant je n'arrrive pas à exprime Un-1 en fonction de Pn-1
c/exprimons Un en fonction de n: soit que Un= Uo*q^n il me faut la raison et le premier terme...
d/ la limite P de la suite (Pn) est
lim (-2/3)^n= 0
quand x tend vers +oo
donc lim P=30 -15*0=30
quand x tend vers +00
Les quantités offertes et demandées sont de 50 centaines d'unités.
Merci de vérifier et de m'aider.
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