Convergence de série

Bleyblue · 27/10/2007 - 13h17

Bonjour,

Après avoir prouver la convergence uniforme de la série :

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}(\frac{x - 1}{x})^n$

pour x dans l'intervalle [1/2, 1]

Je cherche à étudier la convergence de la série dérivée.

La série dérivée est donc :

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{n}(\frac{x - 1}{x})^n \right ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \left (\frac{x - 1}{x} \right )^{(n - 1)}$

Pour x = 1/2 cette série diverge (il suffit d'injecter pour s'en rendre compte) et pour x > 1/2 j'ai :

$\left | \frac{1}{x^2} \left (\frac{x - 1}{x} \right )^{(n - 1)} \right | = \left | \frac{1}{x^2} \left (\frac{1 - x}{x} \right )^{(n - 1)} \right | \le \left | \frac{1}{k^2} \left (\frac{k - 1}{k} \right )^{(n - 1)} \right |$

$\frac{1}{2} < k < x$

$= \frac{1}{k^2} K ^{(n - 1)}$

$0 \le K < 1$

et la série $\sum_{n = 1}^{\infty} K^{(n - 1)}$ converge

donc par le théorème de Weierstrass la série des dérivées converge uniformément sur ]1/2, 1]

Pouvez-vous me dire si ça fonctionne ça ?

merci

MMu · 28/10/2007 - 00h07

Ok

Bleyblue · 28/10/2007 - 11h23

Fort bien !

Saurais-tu comment je pourrais alors en déduire que :

$\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{n} = ln(2)$ ?

Ca ne me dit pas grand chose.
Il faut sans doute se servir du fait que la série dérivée est une série géométrique et calculer sa somme, mais je ne vois pas comment en déduire ce résultat.

merci

homotopie · 28/10/2007 - 13h03

Tu as déjà le début.
Posons F la fonction égale à la série continue sur [1/2;1]
Tu as montré que F est dérivable sur ]1/2;1] (on ne sait encore rien en 1/2).
Tu as calculé f=F' sous forme de série dont tu t'es rendu compte que tu peux l'exprimer sous une forme dite fermée car c'est une série géométrique.
Maintenant que f est sous une forme fermée tu peux calculer F sur ]1/2;1] à une constante près que tu détermines en choisissant une valeur de x qui va bien.
Puis, tu prolonges par continuité en 1/2. Tu devrais obtenir ce qu'il faut.

Bleyblue · 28/10/2007 - 21h09

Ah oui juste j'ai alors :

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}(\frac{x - 1}{x})^n = ln(x)$ sur ]1/2, 1] et si j'évalue ça en 1/2 ça me livre ce qu'il faut mais évidemment ce n'est pas valable comme ça car on ne sait rien sur la dérivée en 1/2.

Je dois prolonger par continuité tu dis ? Je ne suis pas sûr de ce que cela veut dire, prolonger par continuité pour moi c'est faire quelque chose comme :

sin(x)/x n'est pas définie en 0 mais sa limite quand x tend vers 0 est 1 donc on prolonge la fonction par continuité en définissant une fonction f égale à sin(x)/x si x non nul et à 1 sinon

Et ici je dois me débrouiller pour faire pareil avec la dérivée en 1/2 ?

merci !

homotopie · 28/10/2007 - 21h18

Envoyé par Bleyblue

Ah oui juste j'ai alors :

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}(\frac{x - 1}{x})^n = ln(x)$ sur ]1/2, 1] et si j'évalue ça en 1/2 ça me livre ce qu'il faut mais évidemment ce n'est pas valable comme ça car on ne sait rien sur la dérivée en 1/2.

Là où tu en est tu n'as plus besoin de la dérivée. Tu as montré que la fonction F définie par cette série est continue sur [1/2;1].
Donc tu as $F(1/2)=lim_{x->1/2,\,x>1/2}F(x)=lim_{x->1/2,\,x>1/2}ln(x)=ln(1/2)$ .

Bleyblue · 28/10/2007 - 21h35

Ah oui juste !

Bigre c'est une belle application d'un théorème vu au cours ça.
Je parie la réussite de mon examen d'analyse que le prof posera une question du style.

Encore une fois homotopie merci (et n'oublie pas si tu passes à bxl

)

merci aussi à MMu pour avoir vérifier mon raisonnement

homotopie · 28/10/2007 - 22h25

Envoyé par Bleyblue

Ah oui juste !

Bigre c'est une belle application d'un théorème vu au cours ça.
Je parie la réussite de mon examen d'analyse que le prof posera une question du style.

Oui, c'est une technique assez usuelle pour "faire cracher sa valda" à des séries semi-convergentes. Mais il y en a d'autres alors ne parie pas trop vite.

Envoyé par Bleyblue

Encore une fois homotopie merci (et n'oublie pas si tu passes à bxl

)

Je n'oublie pas

mais je n'ai pas encore eu l'occasion.

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