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Démontrer qu'un nombre est irrationnel

  1. Bleyblue

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Messages
    2 949

    Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Bonjour,

    Je dois prouver que (k et n des naturels) soit est naturel soit est irrationnel.
    J'ai comme aide la remarque suivante : "tout naturel admet une décomposition unique en facteurs premiers"

    Je démarre comme ça mais je suis quand même bloquer :



    avec n1, ... ,na des nombres premiers distincts
    s1,s2, ... ,sn des nombres entiers naturels

    1) Soit les s1,s2,...,sa sont tous des multiples de k et alors n^(1/k) est un produit de naturels car si/k sont tous des naturels (1 <= i <= a)

    2) Soit il existe un si tel que si n'est pas un multiple de k et alors n^(1/k) est irrationnel

    Comment pourrais-je bien montrer ce point 2 ? J'ai bien essayé mais ça ne me donne rien ...

    Vous avez une idée ?

    merci

    -----

     


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  2. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    57
    Messages
    2 041

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Bonjour,

    En gros ça se ramène à prouver que, pour p premier, ps/k n'est pas rationnel si s n'est pas multiple de k.

    Si ps/k était rationnel = a/b, en élevant à la puissance k on obtient ak = bk.ps. Considère les décompositions de a et b en facteurs premiers (ils n'en ont aucun en commun si a et b sont premiers entre eux, ce qu'on peut toujours supposer) et compte les facteurs.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.
     

  3. zinia

    Date d'inscription
    décembre 2005
    Localisation
    Paris
    Messages
    544

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    bonjour,
    en général, ce genre de choses se démontre par l'absurde. Tu supposes qu'il existe un rationnel p/q irréductible qui satisfait à ta relation, tu écris que p^k=nq^k et tu regardes ce qui se passe pour un diviseur premier de p...
     

  4. Bleyblue

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Messages
    2 949

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Mais il faudrait alors que je montre que le produit de deux irrationnels est un irrationnel ce qui n'est pas tout le temps vrai vu que

    Citation Envoyé par fderwelt
    (ils n'en ont aucun en commun si a et b sont premiers entre eux, ce qu'on peut toujours supposer) et compte les facteurs.
    Compter les facteurs ? Pour quoi faire ?
    Je ne comprend pas ...

    merci
     

  5. Bleyblue

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Messages
    2 949

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Non ça va j'arrive à le montrer.

    Mais je dois encore montrer que si p^(1/k) est composé de deux (ou plus de deux) facteurs irrationnels alors le produit de ces irrationnels est encore irrationnel
     


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  6. zinia

    Date d'inscription
    décembre 2005
    Localisation
    Paris
    Messages
    544

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Non ça va j'arrive à le montrer.

    Mais je dois encore montrer que si p^(1/k) est composé de deux (ou plus de deux) facteurs irrationnels alors le produit de ces irrationnels est encore irrationnel
    Tu te compliques trop la vie. Pose n'(b^k)=n où b^k est le plus grand facteur dont la puissance k divise n.
    Si n'=1 alors la racine kième de n est entière.

    Sinon p^k=n'q^k avec p et q premiers entre eux.
    Soit a un diviseur premier de p, a^k ne peut pas diviser ni n' (car on a éliminé les facteurs présents 6 fois) ni q puisque p et q sont premiers entre eux.
    Donc p/q ne peut exister CQFD
     

  7. Bleyblue

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Messages
    2 949

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Ah bon.

    J'aurais bien voulut y arriver par moi même mais merci beaucoup !
     

  8. cheria2005

    Date d'inscription
    juin 2007
    Âge
    37
    Messages
    10

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    salut tous le monde .
    j'aime si vous voulez savoir commebt savoir que " pi .. e .." sont irrationels.
    merci
     

  9. Guillaume.B

    Date d'inscription
    octobre 2006
    Âge
    27
    Messages
    120

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Pi et e ne sont pas irrationnels : ils sont transcendants
     

  10. Guillaume.B

    Date d'inscription
    octobre 2006
    Âge
    27
    Messages
    120

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Sinon Bleyblue, pour ta démonstration, tu aurais pu utiliser les valuations p-adiques, je pense.
     

  11. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 960

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Citation Envoyé par Guillaume.B Voir le message
    Pi et e ne sont pas irrationnels : ils sont transcendants
    Il est exact qu'ils sont transcendants (donc pas algébriques), donc ils sont irrationnels.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  12. Theyggdrazil

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Strasbourg
    Âge
    31
    Messages
    341

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Il est exact qu'ils sont transcendants (donc pas algébriques), donc ils sont irrationnels.
    Et je rajouterais que les démonstrations ne sont pas à la portée de tous
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)
     

  13. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
    Localisation
    Lyon
    Âge
    29
    Messages
    4 541

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Citation Envoyé par Theyggdrazil Voir le message
    Et je rajouterais que les démonstrations ne sont pas à la portée de tous
    En effet, j'ai entrevu la démonstration de l'irrationnalité de Pi par des intégrales "judicieuses", et je vais avouer que ça n'est pas d'une simplicité déconcertante. Et je ne parle pas de la transcendance dont je ne connais pas de démontration !
    Cogito ergo sum.
     

  14. Bleyblue

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Messages
    2 949

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel

    Citation Envoyé par ledescat
    En effet, j'ai entrevu la démonstration de l'irrationnalité de Pi par des intégrales "judicieuses"
    Ah oui je pense que j'ai ça quelque part dans mon cours d'analyse de l'an dernier, mais j'ai jamais regardé de près
    Ca avait l'aire assez dur, je peux retrouver ça si ça intéresse quelqu'un
     

  15. cheria2005

    Date d'inscription
    juin 2007
    Âge
    37
    Messages
    10

    Re : Démontrer qu'un nombre est irrationnel



    pour demontrer que " e " est irrationnel je ponse la reponse est dans ce lien:

    : http://upload.9q9q.net/file/UVTPspdc6fA/126_2_1010_3_1_
     


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