commutativité matrice et endomorphisme associé

[invite846dbd5a]

Bonjours à tous,

Voilà j'ai un petit doute et j'aimerais que vous me disiez si mon raisonnement est faux (et si oui où est-il faux )
Voilà le problème :

Soit A une matrice réelle carré d'ordre n et u l'endomorphisme de R^n canoniquement associé,

il faut montrer que : (il existe un pseudo-inverse à A) => rang(u)=rang(u²)

(définition d'un pseudo inverse : A' est un pseudo-inverse de A implique que AA' = A'A , A = AA'A et A' = A'AA' )

Alors j'ai dit que Img(u²) C Img(u) (toujours vrai)
Puis, soit v l'endomorphismede R^n canoniquement associé à A', soit x appartenant à R^n, on a u(x) = u°v°u(x)
u(x) appartient à Img(u) et comme v°u = u°v on a Img(u) qui est stable par v donc
u°v°u(x) = u(x') avec x' qui appartient à Img(u) donc u(x') appartient à Img(u²)

Donc Img(u) = Img(u²) donc rang(u) = rang(u²)

Qu'en penssez-vous ?
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[invite050a6472]

u(x) appartient à Img(u) et comme v°u = u°v on a Img(u) qui est stable par v donc
u°v°u(x) = u(x') avec x' qui appartient à Img(u) donc u(x') appartient à Img(u²)

Je comprends pas très bien ce passage mais je suis pas assez bon pour oser te dire que c'est faux. J'aurais plutôt procéder de la manière suivante:

im(u^2) C im(u) (OK)
Reste à montrer im(u) C im(u^2)
Soit y élement de im(u). Il existe x (élement de R^n) tel que u(x)=y
ie y=u°v°u(x) or v°u=u°v donc y=u°u°v(x) ie il existe x' (que l'on choisit égal a v(x)) élement de R^n tel que y=u°u(x') d'où y est élement de im(u^2) et du coup im(u^2)=im(u).

[invite846dbd5a]

Oui c'est la même chose (en faite si je détail ça donne : "u(x) appartient à Img(u) et comme v°u = u°v on a Img(u) qui est stable par v donc
u°v°u(x) = u(x') avec x' qui appartient à Img(u)" et là je revient à la première équation où on avait u(x)=u°v°u(x)=u(x') avec x' qui appartient à Img(u)
donc on peut dire qu'il existe un y tq u(y)=x'
et donc finallement que pour tout x appartenant à R^n il existe un y tq u(x)=u°u(y) donc que Img(u)CImg(u²).

Mais ce qui me dérange c'est que le question ne parle que des dimensions, ça me parrait bizarre qu'on arrive "si facilement" à prouver que non seulement les dimensions sont égales mais que les sev sont égaux .... il y aurait-il une érreur de raisonnement ?