matrice d'un endomorphisme

[_ShAkKa_]

Bonjour tout le monde , je suis en révision pour la rentrée et j'ai un petit problème sur un exo de math, je mexplqiue ^^

soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est



Déterminer Ker f et Imf.

Bon pour Ker f ca va, j'ai réussi
puisque(si je me trompe pas) j'ai pour tout (x,y,z) de R3
f(x) = 2x-y-z
f(y)=-x+2y-z
f(z)=-x-y+2z

donc on a x=y=z soit Ker f = Vect(1,1,1) (j'ai le même résultat que mon bouquin mais je sais pas si la démo est bonne)

Mais je bloque pour Im f.
J'ai regardé la correction, et ils disent que
Im f ={ (x,y,z) de R3/x+y+z=0}. Ca déjà je comprends pas d'où ca vient, et ensuite ils disent en conclusion que Im f = Vect( (2-1-1) , (-1,2,-1) ).. j'ai pas tout compris non plus, si quelqu'un pouvait m'expliquer

merci d'avance

[GrisBleu]

Salut

soit X de Im f. Alors, il existe Y tel que X=f(Y). Prend un Y quelconque (a,b,c) et alors X=(2a-b-c,-a+2b-c,-a-b+2c) et donc la somme des composantes de X est nulle. La tu as X dans Im f => x+y+z=0. Je te laisse la reciproque.

Pour avoir une famille generatrice, c est pas complique : Imf=Vec(f(1,0,0),f(0,1,0),...) . Remplace et tu as le resultats. C est la definition de Im f. Par contre ce ne doit pas etre une base

[skydancer]

Bonjour tout le monde , je suis en révision pour la rentrée et j'ai un petit problème sur un exo de math, je mexplqiue ^^

soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est



Déterminer Ker f et Imf.

Bon pour Ker f ca va, j'ai réussi
puisque(si je me trompe pas) j'ai pour tout (x,y,z) de R3
f(x) = 2x-y-z
f(y)=-x+2y-z
f(z)=-x-y+2z

donc on a x=y=z soit Ker f = Vect(1,1,1) (j'ai le même résultat que mon bouquin mais je sais pas si la démo est bonne)

La matrice est composé ainsi ;
(f(e1) f(e2) f(e3))
e1,e2,e3 étant la base canonique.
Tu peux donc remaruqer que :
f(e1) + f(e2) + f(e3) = 0;
<=>f(e1+e2+e3) = 0;
donc

Mais je bloque pour Im f.
J'ai regardé la correction, et ils disent que
Im f ={ (x,y,z) de R3/x+y+z=0}. Ca déjà je comprends pas d'où ca vient, et ensuite ils disent en conclusion que Im f = Vect( (2-1-1) , (-1,2,-1) ).. j'ai pas tout compris non plus, si quelqu'un pouvait m'expliquer

merci d'avance

C'est un argument du genre :

Puis il s'agit de trouver 2 vecteurs orthogonaux à (1,1,1) et non colinéaires. par exmple : (2-1-1) , (-1,2,-1)

[Romain-des-Bois]

C'est un argument du genre :

T'es sûr de toi, là ?


Romain

[Romain-des-Bois]

donc on a x=y=z soit Ker f = Vect(1,1,1) (j'ai le même résultat que mon bouquin mais je sais pas si la démo est bonne)

Je comprends pas comment tu arrives au résultat

mais je suis d'accord avec la preuve de skydancer :

La matrice est composé ainsi ;
(f(e1) f(e2) f(e3))
e1,e2,e3 étant la base canonique.
Tu peux donc remaruqer que :
f(e1) + f(e2) + f(e3) = 0;
<=>f(e1+e2+e3) = 0;
donc

Par contre, je suis pas d'accord avec :

C'est un argument du genre :

ce n'est vrai que si f est un projecteur !

(si quelqu'un peut in/confirmer)


Romain

[skydancer]

je pense que t'as raison, ca doit plutot etre quelque chose du genre :
dim Ker f + dim Imf = dim R3

[_ShAkKa_]

Citation:
Posté par _ShAkKa_
donc on a x=y=z soit Ker f = Vect(1,1,1) (j'ai le même résultat que mon bouquin mais je sais pas si la démo est bonne)

Je comprends pas comment tu arrives au résultat

j'ai justifié en disant que, puisque Ker f ={ (x,y,z) de R3 /x=y=z}, Ker f =Vect(1,1,1) car c'est l'ensemble des combinaisons linéaires de (1,1,1) (enfin je crois, ou alors je me gourre tout seul )

sinon pour le supplémentaire, c'est une propriété qu'il faut démontrer, mais après avoir calculé Ker f et Im f


sinon merci pour les réponses

[doudache]

Par contre, je suis pas d'accord avec :

ce n'est vrai que si f est un projecteur !

Non, c'est vrai dans plus de cas (d'ailleurs c'est vrai dans le cas de l'endomorphisme de l'exercice) : il suffit que , ce qui équivaut à ce que la suite des rangs des fⁿ soit constant. C'est aussi équivalent à dire que est un isomorphisme. Pour un projecteur, cette même application vaut l'identité.

Pour _ShAkKa_, je te conseille de regarder le message de wlad_von_tokyo.

[alphons]

Bonjour,

Je reprends cet exo qui est ancien mais j'ai le même énoncé.
Une fois qu'on a nos vecteurs de base pour Imf et Kerf, on nous demande d'écrire la matrice de f dans la base adaptée à cette supplémentarité.
Notre base est composée des vecteurs :
v1=(1,1,1)
v2=(2,-1,-1)
v3=(-1,2,-1)

f(x,y,z)=(2x-y-z ; -x+2y-z ; -x-y+2z)

Donc pour avoir la matrice dans cette base composée des vecteurs v1,v2 et v3 ; on calcule f(v1), f(v2), f(v3). Je trouve alors la matrice :
0 6 -3
0 -3 6
0 -3 -3

Or la correction ne me donne pas la même matrice. Elle me donne la matrice :

0 0 0
0 3 0
0 0 3

Je ne vois pas où est mon erreur.
Merci pour votre aide.

[sylvainc2]

C'est pas f(v1),f(v2) et f(v3) que tu dois mettre dans les colonnes de la matrice c'est plutôt l'écriture de chacun dans la base (v1,v2,v3) comme ceci:
f(v1)=(0,0,0) = 0v1 + 0v2 + 0v3 -> 0,0,0 dans la colonne 1
f(v2)=(6,-3,-3) = 0v1 + 3v2 + 0 v3 -> 0,3,0 dans col 2
f(v3)=(-3,6,-3) = 0v1 + 0v2 + 3v3 -> 0,0,3 dans col 3