Topologie et projection

[Deeprod]

bonjour à tous,
soit E un espace vectoriel euclidien
soit p un projecteur non nul de E
j'ai démontré l'équivalence entre p orthogonal et sa norme subordonnée = à 1

maintenant je dois montrer que l'ensemble des projecteurs de E est un fermé de l'espace des endomorphisme de E et que l'ensembe les projecteurs orthogonaux de E est un compact.

Pouvez-vous m'aider ou me donner quelques pistes sur ce sujet.
D'avance merci
slts.

[erff]

Bonjour, on ne peut pas dire que cet ensemble est l'image réciproque d'un compact par une applicatoin continue ? (c'est l'image réciproque de de {1} inclus dans IR qui est un compact par l'application "norme subordonnée" qui est continue)

[ThSQ]

Bonjour, on ne peut pas dire que cet ensemble est l'image réciproque d'un compact par une applicatoin continue ? (c'est l'image réciproque de de {1} inclus dans IR qui est un compact par l'application "norme subordonnée" qui est continue)

L'image réciproque d'un compact n'a pas de raison d'être un compact.
Ex : avec ou même avec

Tu as montré que c'est fermé reste à montrer que c'est borné.
On a si q est orthogonal donc l'ens. des Proj orthogonaux est dans la boule unité fermé.

[erff]

Oups !!!
- J'ai fait un amalgame entre " l'image réciproque par une applicatoin continue d'un fermé est fermé" et l'image d'un compact par une application continue est compact"...
Ca a fait des dégâts les grandes vacances.

[Deeprod]

merci pour votre réponse. ça m'a aidé je peux terminer mon exo.
slts

[Deeprod]

merci d'avoir répondu à mon message. ça va me permettre de terminer mon exo.
slts

[Deeprod]

Encore une petite question pour clore la recherche.

J'ai besoin de trouver le maximum de trace(p o q) avec p et q des projecteurs orthogonaux.

En utilisant, les résultats précédents, je pensais utiliser le fait qu'une fonction d'un compact dans |R est borné et atteint ses bornes.

Mais visiblement c'est difficile d'utiliser ce théoreme ici, puisqu'on a une composée de projecteurs orthogonaux, et il semble pas evident (voir meme faux ?) que la composé de deux projecteurs orthogonaux est un projecteur orthogonal.

Pouvez vous me donner quelques pistes ?

Merci d'avance.

[ThSQ]

Je sais pas répondre mais ce qui est clair c'est que la composée de deux projecteurs orthogonaux n'est pas forcément un projecteur. De toute façon je suis pas sûr que la trace soit continue

[Deeprod]

Re bonjour à tous...la trace est continu dans ce cas, car c'est une application linéaire partant d'un espace vectoriel de dimension fini. Donc le problème vient de la composée de p et q, puisque désormais nous ne travaillons pas nécessairement dans un compact.

[ThSQ]

la trace est continu

Oui bien sûr que je suis c*n, elle est même différentiable ....

Je pensais au rang qui coïncide avec la trace pour les projecteurs (et qui n'est pas continu).