Opérateur borné - analyse fonctionnelle

franz2b · 09/12/2007 - 19h33

Salut a tous,
j'aimerai avoir de l'aide sur cet exercice:

Soit $X_1=C^1([0,1])$ muni de la norme $\||f\||_{C^1}=max_{x \in [0,1]}(|f(x)|)+max_{x \in [0,1]}(|f'(x)|)$

Est ce que l'opérateur $L=\frac{d}{dx}:C^1([0,1]) \to C([0,1])$ est borné.

Si oui, calculer sa norme.

merci beaucoup

homotopie · 09/12/2007 - 19h45

Je suppose que C([0,1]) est muni de la norme infinie.
Dans ce cas il est clair que llL(f)ll<=llfll et 1 devient candidat pour être la norme.
Pour cela il suffit d'exhiber une suite de fonctions tels que llf_n'll reste constante et égale à 1 tandis que llfll tend vers 0. Il faut penser à une fonction dont les oscillations sont en valeur absolue non triviales mais nombreuses donc lfl reste faible ("trafiquer" une fonction sinus par exemple).

franz2b · 09/12/2007 - 21h26

Envoyé par homotopie

Je suppose que C([0,1]) est muni de la norme infinie.
Dans ce cas il est clair que llL(f)ll<=llfll et 1 devient candidat pour être la norme.
Pour cela il suffit d'exhiber une suite de fonctions tels que llf_n'll reste constante et égale à 1 tandis que llfll tend vers 0. Il faut penser à une fonction dont les oscillations sont en valeur absolue non triviales mais nombreuses donc lfl reste faible ("trafiquer" une fonction sinus par exemple).

Gracias l'ami, je vais plancher ca, et je te reviens te donner de mes nouvelles pour te dire si j'ai tout bien assimiler!

ps: La norme infini, doit bien etre la norme sur C[0,1], ce n'est pas indiqué, mais je pense que c'est 'naturel'

franz2b · 09/12/2007 - 23h57

Merci beaucoup homotopie, c'est tres gentil, partant du principe que la norme de L(f) est inférieure à 1, la suite a exhiber n'est pas dure a trouver, par contre (j'ai un peu honte de dire ca) je n'arrive pas a prouver l'inegalité de depart

franz2b · 10/12/2007 - 00h17

$|L(f)(x)|=f'(x)$ Donc $\|L(f)\| \le \||f\||_{C^1}$
Donc $\|||L\|||=sup\frac{\|L(f)\|}{\ ||f\||_{C^1}} \le 1$

c'est bon!

franz2b · 10/12/2007 - 01h09

Pour ce qui est de la norme de L

dites moi si c'est bien ca:

$f_n(x)=\frac{sin(n \pi x)}{n \pi}$
$f'_n(x)=cos(n \pi x)$

donc $\||f_n\||_{C1}=1+\frac{1}{n \pi}$

St $g_n=\frac{f_n}{1+\frac{1}{n \pi}}$ cela implique $\||g_n\||_{C1}=1$

Donc
$|L(g_n)|=\frac{|f_n|}{1+\frac{ 1}{n \pi}} \le \frac{\||f_n\||_{C1}}{1+\frac{ 1}{n \pi}}=1 \le \|||L\|||$

ccl: $1=\|||L\|||$

homotopie · 10/12/2007 - 10h34

Envoyé par franz2b

Donc
$|L(g_n)|=\frac{|f_n|}{1+\frac{ 1}{n \pi}} \le \frac{\||f_n\||_{C1}}{1+\frac{ 1}{n \pi}}=1 \le \|||L\|||$

ccl: $1=\|||L\|||$

Ta conclusion est avec ce que tu as fait llLll>=1, ce qu'il te faut c'est l'inégalité inverse.
Mais en reprenant tes fonctions g_n, c'est à bien à quelque chose de ce type que je pensais, on a puisque llLll est la borne supérieure des llL(g)ll/llgll (avec les normes choisies pour les espaces consiodérés) on a llLll>=1/(1+1/npi), en particulier llLll est supérieure ou égale à la orne supérieure du membre de droite qui vaut justement 1 donc llLll>=1. Et comme on a déjà llLll<=1 (avec l'argument donné ci-avant) on a bien llLll=1.