Casse tête marrant

[invite3da508de]

Pour ceux qui aiment bien se casser la tête, en voilà un petit qui va faire plaisir à bien d'entre vous . Je tiens à préciser que c'est du niveau de termS (pas besoin de la spécialité). Je ne demande pas la reponse, je l'ai déjà trouvé après des heures de recherches.
Ceux qui veulent tester amusez vous bien!!

F est une fonction définie dans N et à valeurs dans N telle que:
F(1)>O et pout tout entiers m et n
F(m(au carré)+n(au carré))=[F(m)](carré)+[F(n)](carré)

1-Calculer F(k) pour 0<=K<=12
2-Calculer F(n) pour tout entier n

excusez moi pour les (au carré) et les infrieurs ou egal (<=) je ne savais pas très bien comment faire!!

Bonne chance

FrK B
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[.:Spip:.]

je ne suis pas sur de saisir la 1ere question :

k = m² + n² c'est ca ?
tu veux que l'on calcule f(0) f(1) ... f(12)

[invite980a875f]

Salut,
c'est ce que j'ai compris aussi. Mais je ne vois pas comment calculer l'image de nombres qui ne sont pas la somme de seux carrés, par exemple f(3)...
Par ailleurs, je ne vois pas à quoi cela sert de préciser dans l'énoncé que F(1)>0 car on peut de toute façon trouver F(1) par le calcul, et puis en plus F est à valeurs dans N, donc F ne peut être négative.

[Quinto]

Par ailleurs, je ne vois pas à quoi cela sert de préciser dans l'énoncé que F(1)>0 car on peut de toute façon trouver F(1) par le calcul, et puis en plus F est à valeurs dans N, donc F ne peut être négative.

si tu prends la fonction nulle ca vérifie les hypotheses et on a pas F(1)>0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite980a875f]

Ah oui je m'excuse! En fait, une fois que l'on a éliminé la fonction nulle, F(1)>0 se trouve par le calcul.

[invite3da508de]

Oui, tu calcule F(1) F(2)... F(12) en utilisant les hypothèses de l'énoncé uniquement...
Et pour les nombres qui ne sont pas la somme de deux carrés... et bien il faut trouver d'autres combinaisons avec la fonction... une fois qu'on a trouvé le truc, cette question est simple... pas conter la deuxième l'est beaucoup moins, vous pouvez y passer sans avoir fait la première... mais ce sera plus dur!

[invite980a875f]

Salut,
est-ce qu'il faut faire une conjecture (à partir des résultats qu'on trouve sur les douze premiers entiers), puis la démontrer par récurrence?

[Evil.Saien]

T'as vraiment mis des heures a trouver ca ??!!!

[olle]

F(x) = |x| ?

même pas besoin des | | en fait

[invite3da508de]

Je ne l'ai pas fait comme ça, et je ne penses pas que cel puisse marcher mais après tout... pourquoi pas? Si ça marche c'est que c'est bon!!

[invite3da508de]

Non olle, et puis il est facile de conjecturer... il faut le demontrer!!
De toute façon c'est de N sur N alors la valeur absolu....

[invite3da508de]

Excuse moi, tu l'avais rectifier, oi en effet c'est bien ça, mais le plus dur est de le demontrer!! essaye tu verras, c'est funky comme demonstration!!(la mienne en tout cas!!)

[invite3da508de]

Evil, si tu trouves ça simple à DEMONTRER!!! et ben tant mieux pour toi, mais moi j'ai mis des jours avant de trouver!!!

[olle]

F(m²+n²)=F(m)²+F(n)²

c'est quoi que je dois démontrer ? que F(x) = x est valide ou que F(x) = x est la seule solution au problème ?

parce que démontrer que F(x) = x est valide c'est un petit peu imédiat quoi

[Evil.Saien]

La démonstration c'est pas ce qui est le plus dur ! Il suffit juste de caluler les premiers termes, il apparait clairement de quelle fonction il s'agit. A partir de la, il faut emettre l'hypothèse que F(n) = la fonction qu'on suppose puis on regarde si effectivement F(n^2 + m^2) = F(n)^2 + F(m)^2.
Et voila, que faire de plus ? Le plus dur dedans est de trouver la bonne hypothèse.

[invite3da508de]

Il faut démontrer que F(n)=n pr tout n de N
La demonstration n'est pas immédiate! Je me demande comment tu fais alors... vas y donne moi ta demonstration pour voir par ce que ça me parait bizarre...

[olle]

non... erreur inside

[olle]

F(m²+n²) = F(m)²+F(n)²

F(0²+0²) = F(0)²+F(0)² -> F(0) = 2*F(0)²
soit F(0)*(2F(0)-1) = 0 et donc F(0) = 0 (car F(0) = 1/2 n'est pas possible par hypothèse que l'ensemble d'arrivée est N)

F(0+1) = F(0)²+F(1)² -> F(1) = F(1)²
soit F(1) = 1 (car F(1) = 0 à rejeter par hypothèse)

F(1²+1²) = F(1)²+F(1)² -> F(2) = 2

etc...

[invite3da508de]

Non olle!! de cette manière cela ne marche malheureusement pas!
essaie de faire aboutir la demonstration et tu verra... ça pose quelques problèmes...
Faut trouver autre chose!!

[olle]

pour certains nombres il y a de légers problèmes mais résolvables :

exemple pour F(3)

F(0²+2²) = F(0)²+F(2)² -> F(4) = 4
F(1²+2²) = F(1)²+F(2)² -> F(5) = 5
F(3²+4²) = F(3)²+F(4)² -> F(25) = F(3)²+16
F(0²+5²) = F(0)²+F(5)² -> F(25) = F(5)² = 25

-> F(3)² = 25-16 = 9 -> F(3) = 3

[invite3da508de]

Ah ah... Mais olle a tu seulement essayé de trouver pour TOUT les entiers de 1 à 12 ? je ne penses pas. Essaye et après tu verras que ce n'est pas si simple... les difficultés sont bien plus grosses que celles que tu montres!!!

essaye de faire la première question ENTIEREMENT et après tu verras...

[olle]

oui en fait je me doute bien

[invite14ea0d5b]

Mais la solution F(n) = n est effectivement immédiate ?_? Pourquoi tu as fini par douter olle ?

les conditions sont F(m^2+n^2) = [F(m)]^2 + [F(n)]^2

F(1) > 1


ces deux conditions sont vérifiées par F(n) = n.
=> F(n) = n est une solution possible. Ou est le problème ?

[invite3da508de]

Je ne comprends pas: l'équation vérifie les deux conditions donc tu en déduit que c'est en effet l'équation? Je ne penses pas que tu puisse l'affirmer... ce n'est pas demontrer mais juste "remarquer". Tu ne montre pas de cette manière que cela marche quel que soit n de N si?

[invite14ea0d5b]

Ben si :P

Tu te complique la vie en voulant construire F(n) par couples connus successifs. F(n)=n vérifie les deux conditions => c'est une solution. Rien à ajouter.

Ca m'intéresse de savoir si c'est la seule par contre...intuituvement oui. mais.. ?

[invite14ea0d5b]

Ah ben pour cette dernière question, ta preuve m'intéresse. Si c'est par construction pour tout n, a partir de couples connus successivement, F(n) = n est bien la seule solution. Ta preuve (ca serait sympa de la montrer :P) est plus forte que de juste montrer que F(n) = n fonctionne.

[invite3da508de]

Ben il faut le demontrer, ce qui n'est pas si simple... (trouve les 12 premiers et après tu pourras faire une conjecture plus avancée... puis le demontrer.) Si tu veux je balancerais surement la réponse demain... (c'est pas drôle si je le dis tout de suite... il faut chercher! )

[inviteef95afaf]

Bonsoir à tous,
je pense que le problème, interessant... , a été mal posé, d'ou bcp de messages inutiles
Nlle formulation:
Soit f: N->N tq f(1)>0 et f(n²+p²)=f(n)²+f(p)²
1) calculer f(n) pour 0<=n<=12
2) prouver que f(n)=n
C'est pas mieux comme ca ? (je pense que tout le monde se doutait de toute facon que f est l'identité...)

Quant à la preuve (élégante) du cas général, je l'attends avec impatience.

[invite980a875f]

Salut,
je me demande s'il serait possible de démontrer que f(n)=n est la seule solution de cette manière: on choisit f telle que f soit différente de l'identité, et on aboutit à une absurdité. Pensez-vous que ça marcherait?
J'attends aussi la démo avec impatience.

[invite14ea0d5b]

Bonsoir à tous,
je pense que le problème, interessant... , a été mal posé, d'ou bcp de messages inutiles
Nlle formulation:
Soit f: N->N tq f(1)>0 et f(n²+p²)=f(n)²+f(p)²
1) calculer f(n) pour 0<=n<=12
2) prouver que f(n)=n
C'est pas mieux comme ca ? (je pense que tout le monde se doutait de toute facon que f est l'identité...)

Quant à la preuve (élégante) du cas général, je l'attends avec impatience.

C'est mieux à condition de modifier

2) prouver que f(n) est _l'unique_ solution