Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

[Romain-des-Bois]

Bonjour !

Je veux calculer l'aire d'un ellipsoïde (enfin, je connais déjà le résultat) via la méthode la plus calculatoire qui soit

Je paramètre :
P(u,v) = ( a cos(u) sin(v) ; b sin(u)sin(v) ; c cos(v) )

Les dérivées par rapport à u et v : (que je note resp. d1P et d2P)

d1P= ( -a sin(u) sin(v) , b sin(u) cos(v),0)
d2P = (a cos(u) cos(v) , b sin(u) cos(v), -c sin(v) )

Calcul du produit vectoriel V = d1P v d2P :
V= -sin(v) ( bc sin(v) cos(u) , ac sin(v) sin(u), ab cos(v) )

Et le problème se produit maintenant :
Pas moyen de simplifier de manière significative la norme pour pouvoir intégrer (jai tout essayé : linéarisation, faire apparaître des carrés... j'ai même essayé d'intégrer avec la racine (changements de variable...)) Bref, ça marche pas trop... et ça me semble bizarre, ça devrait bien se goupiller...


Je vous remercie de votre aide !

Romain

[CM63]

Fait un changement de variable de façon à transformer ton ellisoïde en sphère, et le résultat est immédiat.

[Jeanpaul]

L'aire d'une ellipse se calcule facilement, mais pas son périmètre.
Le volume d'un ellipsoïde se calcule bien mais pas son aire. En effet, il suffirait d'intégrer une toute petite bande autour du plan x=0 et on aurait le périmètre d'une ellipse, ce qui n'est pas possible sans intégrales elliptiques.

[breukin]

En revanche, pour les ellipsoïdes allongés a=b<c ou applatis a=b>c (la Terre), c'est possible avec les fonctions usuelles.

[Romain-des-Bois]

Bonjour et merci à tous de vos réponses...

j'avais tenté le changement de variable ellipsoïde -> sphère, malheureusement ça ne simplifie pas vraiment, et puis il faut pouvoir le faire (conditions sur a, b et c) (ou alors je n'ai pas compris ce que tu veux dire CM63 !)

Bon, je mets la fonction qu'on est sensé intégrer :

sin(v) ( c²sin²(v) (b²cos²(u) + a²sin²(u)) + a²b²cos²(v) )^1/2

Ici, je n'ai aucune condition sur a, b et c

Finalement, mon calcul n'arrivera pas au bout, c'est bien ça ?


encore merci


Romain

[CM63]

Oui, autant pour moi, le changement de variable sphérique ne permet pas de calculer l'aire d'une ellipsoïde, pas plus que le périmètre de l'éllipse,comme le dit Jeanpaul. Mais ton problème n'a pas de solution, on ne peux pas trouver d'expression générale pour l'intégrale elliptique.

[Romain-des-Bois]

Ah ! Ca me rassure

Bon, et bien merci à tous alors !


Romain

[zapple]

J'ai pu trouver ces liens:

1) http://home.att.net/~numericana/answer/ellipsoid.htm qui donne plusieurs liens vers des calculs assez complexes je dois dire.

2) http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BS...__21__17_0.pdf

[Romain-des-Bois]

Envoyé par zapple

J'ai pu trouver ces liens:

1) http://home.att.net/~numericana/answer/ellipsoid.htm qui donne plusieurs liens vers des calculs assez complexes je dois dire.

2) http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BS...__21__17_0.pdf

Merci

Romain

[Benoit120]

bonjour
J'ai trouvé sur internet 3 calculs pour connaitre l'aire d'une éllipsoïde révolution allongée:
-2pi(a "au carré" + b "au carré"(arcsine/e))
-2pi.b(b + a(arcsine/e))
-2pi.a au carré + 2pi.a.b.(arcsine/e)

avec e=0.81 (dans mon cas)
a demi grand axe
b demi petit axe

Ces trois expressions me donnent toutes un résultats différent mais proches.
De plus, je ne sais pas si "e" est en eradian ou en degré.

Merci d'éclairere ma lanterne

[breukin]

Soit un ellipsoïde de révolution ayant pour demi-axes (a,b,b). L'ellipsoïde est allongé si a > b, il est aplati si a < b. On note r = b/a.
L'équation de l'ellipse génératrice est y(x) = r.(a²–x²)^½

La surface de révolution d'une tranche élémentaire dx est donnée par 2πy(x).(1+y'(x)²)^½dx = 2πr.{a²–(1–r²)x²}^½dx, ce qui conduit à

S = 4πab∫_(0,1){1–(1–r²)u²}^½du

Pour un ellipsoïde allongé, r < 1 et on note e² = 1–r², et on a :
S = 4πab∫_(0,1){1–e²u²}^½du

Pour un ellipsoïde aplati, r > 1 et on note e² = r²–1, et on a :
S = 4πab∫_(0,1){1+e²u²}^½du

Pour l'ellispoïde allongé, le calcul final donne :
S = 2πab{(1–e²)^½+e^–1arcsin e}, qui vaut bien 4πa² si b = a, r =1, e=0.