valeurs propres de matrice

[invite4bdf3569]

Bonjour à tous

voilà je dois calculer les valeurs propres de cette matrice :
(-1 1 1 )
C= ( 1 -1 1 )
( 1 1 -1 ) j'ai donc calculeé le polynôme caractéristique et je trouve que P(x)= (-1-x)^3 -3(-1-x) +2 V.P= ?

le soucis c'est que je n'arrive pas à trouver les racines du polynôme car il est du 3eme degrés.
J'ai essayer en faisant des opérations pour simplifier la matrices (opérations entre lignes) et là je trouve P(x)= (x+1) (x+2) (2-x) donc V.P= -2 ; -1 ; 2

et ce qui m'embete le plus c'est qu'avec les 2 cas je n'arrive pas à trouver un polynôme minimal qui marche ( m(C)=0 )


Est que quelqu'un peut m'aider?????

merci d'avance
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[invitebb921944]

Bonjour !
Ma calculette me donne -(x-1)*(x+2)² comme polynôme caractéristique...
(ouais je suis feignant)

[invite4bdf3569]

donc apparement mon second calcul serait juste !!
mais est ce que tu sais trouver le polynôme minimal???ou ta calculette peut être????? lol

[invitebb921944]

Non ton second calcul est faux aussi car il donne 3 valeurs propres:

Le déterminant vaut :

(-1-x)^3+1+1-(-1-x)-(-1-x)-(-1-x)
=-(1+x)^3+3(1+x)+2
Problème : polynôme de degré 3.
Comment faire ? On cherche les racines evidentes :
1 est solution, on peut donc le factoriser par x-1
On obtient (x-1)*(-x²-4x-4)=-(x-1)(x²+4x+4)=(1-x)(x+2)²
Deux valeurs propres : 1 et -2

Pour le polynôme minimal, il y a une méthode qui marche à tous les coups (mais je l'ai vue cette année en M1), c'est la recherche des invariants de similitude de la matrice :
On considère la matrice
(-1-x 1 1)
(1 -1-x 1)
(1 1 -1-x)
On peut montrer par certaines opérations (attention c'est très restreint comme type d'opérations) sur les lignes et les colonnes qu'elle est équivalente à la matrice :
(1 0 0)
(0 2+x 0)
(0 0 (2+x)(1-x))
Donc le polynôme minimal est (2+x)(1-x).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Pour la petite info, on a
Q=(1 0 0)
(1+x 1 0)
(x 1 1)

P=(0 0 1)
(1 -1 1)
(0 1 x)

Il suffit de calculer le produit
Q*A*P (ou A est la matrice que je t'ai donnée) et on obtient la matrice qui donne le polynôme minimal dans ce cas !

[invite4bdf3569]

okey merci beaucoup j'ai compris ta méthode je vais essayer defaire le polynome minimal par ta méthode mais je suis qu'en L2 donc on verra si je m'en sors!
merci

[invitebb921944]

Pour le polynôme minimal, il y a une méthode plus simple qui consiste à tenter de trouver des polynômes annulateurs de A.
On sait déjà que le polynôme minimal est soit
(x-1)(x+2)
soit
(x-1)(x+2)²
puisqu'il divise le polynôme caractéristique (et que toutes les valeurs propres l'annulent).

On a :
A=(-1,1,1)
(1,-1,1)
(1,1,-1)
On ne peut clairement pas obtenir la matrice nulle en utilisant uniquement la matrice identité mulitpliée par un scalaire.
Calculons A²:
A²=(3,-1,-1)
(-1,3,-1)
(-1,-1,3)

On a -A+2*I=A²
Donc A est racine du polynôme X²+X-2=(x-1)(x+2)
Or le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur de A.
Donc le polynôme minimal vaut (x-1)(x+2).

[invite4bdf3569]

ok merci mais est ce que ma matrice C du début est diagonalisable??
je trouve que la somme des dimensions des sous espaces propres est égale a 3 et comme c'est une matrice d'ordre 3 elle doit être diagonalisabledonc écrivable sous la forme P-1 D P=C mais alors mon determinant de P est 0!!! donc c'est impossible car P est censé être une matrice inversible
????

[invitebb921944]

Pourquoi trouves-tu det(P)=0 ?
Qu'as tu trouvé comme vecteurs propres ?
Pour info, oui C est diagonalisable !

[invite4bdf3569]

alors j'ai trouvé comme vecteurs propres :

pour V.P=1 (x)
(x)
(x)



et pour V.P=-2 (x)
(y)
(z)
et c'est sur celle là que je suis embeté.

[invite4bdf3569]

désolé pour la mise en forme je ne sais pas comment faire autrement

[invitebb921944]

Tu dois avoir des réels dans tes vecteurs propres et non des variables.
Ensuite, 2 est de multiplicité 2, tu dois donc déterminer deux vecteurs propres associés à 2 !

[invite4bdf3569]

alors voilà

après avoir trouvé les valeurs propres(qui sont 1 et -2) , j'ai trouvé les sous espaces propres associés à ces valeurs propres: pour 1 E(C) = (x)
(x)
(x)

donc la dimension est 1


et pour -2 E(C)= (x)
(y)
(z)

donc la dimension est 3, mais je pense m'etre trompé pour le calcul de ce sous espace propre! car je trouve une somme de dimension égale a 4.
Merci de ta patience!!

[invitebb921944]

Mais qu'est-ce que c'est le vecteur propre
(x)
(y)
(z)
????
Tu dois trouver des vecteurs concrets (avec des valeurs réelles à l'intérieur quoi).
Détaille tes calculs et je pourrais t'aider !

[invite4bdf3569]

C'est bon j'ai trouvé tu avais raison elle est diagonalisable je faisais juste un epetite erreur mais elle m'a été fatale!!!lol
en tout cas merci beaucoup pour ta patience ça fait plaisir depouvoir obtenir de l'aide quand on en a besoin!!parce que mon prof de maths nous a pas encore fait l'intégralité du cours et je rame pas mal pour certain exos !!
merci bon weekend