primitive de (cos x)exp n

[invite4ab3564c]

Bonjour. Je serais très reconnaissant vis à vis de la personne pouvant dans la résolution de la primitive de (cos x)exp n , où n est un exposant naturel. Une expression généralisée serait la bienvenue. Merci beaucoup d'avance. Psk.
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[invitebb921944]

Salut !
Tu fais deux IPP d'affilé.
Tu vas tomber sur :
integrale(cosxe^x)=cosxe^x+sin xe^x-integrale(cosxe^x)
Tu mets les deux "integrale(cosxe^x)" du meme coté de lequation et tu devrais trouver facilement la primitive ^^
Voila !

[invitebb921944]

ah merde c'est e^n...

[invitebb921944]

e^n est constant, tu le sors de l'intégrale et tu cherches la primitive de cosx

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite980a875f]

En effet, si n est un naturel donné, une primitive est sin(x)*exp(n), c'est immédiat!

[invite4ab3564c]

j'ai mal écrit l'énoncé : il s'agit de (cosx) exposant n soit résoudre integ. de (cos x)^n ... voilà ! (n restant une variable naturelle)

[invitea77054e9]

Pas la peine de chercher plus longtemps, une primitive de (cos x)^n n'existe pas, du moins à ma connaissance.


Meme Maple ne trouve pas de solution.
Cependant il me donne un développement limité si ça t'intéresse:
A l'ordre 5
x-1/6*n*x^3+(1/120*n+1/40n*(n-1))*x^5+O(x^5)
Si tu ne sais pas encore ce que sont les développement limités, ne prete pas attention à cela.

Cependant pour un n précis on est capable de calculer (cos x)^n, ms il n'existe pas de formule générale malheureusement

[invite1c6e02b6]

si n est impaire, on trouve facilement :

(cosx)^n=(cosx).(cosx)^(n-1)

alors n-1 est paire et on peut transformer (cosx)^(n-1) en (1-sin²x)^k avec k=(n-1)/2, puis on développe le polynome en sinus, et on integre morceau par morceau avec la forme u'.u

si n est pair:

il faut linéariser cos^n : on utilise Euler, puis on developpe la puissance n, et on regroupe les termes pour refaire apparaitre des cos : on obtient une somme de cos(kx) qui s'integre sans pb..

quand à mettre tout ceci sous formule generale...