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Les séries de Riemann

  1. paulin3

    Date d'inscription
    avril 2007
    Messages
    25

    Angry Les séries de Riemann

    Bonjour!

    Je sais bien que ce forum n'est pas là pour ça mais ça fait plusieurs heures que je planche sur un probleme et je ne vois toujours pas le bout. Si quelqu'un pouvais me donner qlq indications pr me sortir de cette impasse ça serait sympa

    Soit la suite Sn= Σ des k allant de 1 à n de (1/k^α) avec α>0

    On définit la fct gα sur ]0;+∞[ par gα(x)=1/x^(α-1)

    On considère que α>1

    On a pr tt x appartient à [k,k+1] :
    (1-α)/k^α <(ou egal) gα'(x) <(ou egal) (1-α)/(k+1)^α

    Je n'arrive pas à en déduire que pr tt k appartenant à N on a :
    (1-α)/k^α <(ou egal) 1/(k+1)^(α-1) - 1/k^(α-1) <(ou egal) (1-α)/(k+1)^α

    J'ai seulement remarqué que ce qu'il y a au milieu de l'inégalité correspond en fait à gα(k+1) - gα(k)

    Je dois ensuite en déduire un encadrement de Sn en utilisant les sommes téléscopiques ( j'en ai trouvé un mais il me semblent absurde )
    Pour finir je doit déduire de cet encadrement que Sn est convergente ( c'est là où je pense que mon encadrement est absurde car je trouve que Sn converge vers 1-α )

    Estce que quelqu'un pourrait m'aider?


     


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  2. Flyingsquirrel

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    3 590

    Re : Les séries de Reimann

    Salut
    Citation Envoyé par paulin3 Voir le message
    J'ai seulement remarqué que ce qu'il y a au milieu de l'inégalité correspond en fait à gα(k+1) - gα(k)
    Et c'est bien ce qu'il faut voir : ce que tu veux montrer c'est qu'il y a un tel que

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  3. paulin3

    Date d'inscription
    avril 2007
    Messages
    25

    Re : Les séries de Riemann

    Merci bcp pr l'indication, en effet je n'avais pas vu la manip à faire! Cependant je ne suis pas sûre d'avoir tt compris...
    Pr appliquer le théorème de Rolle à gα il faut que gα(k)=gα(k+1) or c'est différent n'estce pas?
     

  4. Flyingsquirrel

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    3 590

    Re : Les séries de Reimann

    Oui ils sont différents, c'est pour ça que j'ai parlé d'une fonction « bien choisie ». Le théorème de Rolle te dit que si une fonction G vérifie G(k)=G(k+1) et est dérivable sur [k,k+1], il existe un point c dans le segment tel que G'(c)=0.
    Sachant ce que l'on veut montrer, tu peux trouver G' puis en déduire G à une constante d'intégration près. Constante que tu détermineras avec la condition G(k)=G(k+1).
     

  5. koikoi

    Date d'inscription
    février 2008
    Messages
    1

    Re : Les séries de Reimann

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    ce que tu veux montrer c'est qu'il y a un tel que

    Indice :
     Cliquez pour afficher
    Bonjour,

    Quelque chose a dû m'échapper dans votre réponse.

    Pour montrer qu'il y a un tel que
    en utilisant le théorème de Rolle, faut-il faire correspondre G(k) à [tex]g_{\alpha}'(c) et G(k+1) à ?
    Si oui, je ne vois pas du tout quelle fonction pourrait correspondre à G... et même G'...
     


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  6. Flyingsquirrel

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    3 590

    Re : Les séries de Reimann

    Bonsoir

    L'idée est de choisir . On obtient alors G par intégration et en utilisant la condition G(k)=G(k+1). Ensuite il n'y a plus qu'à vérifier qu'on peut effectivement appliquer le théorème de Rolle à G et on obtient le résultat voulu.
     


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