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2^n > n² pour n > = 2

  1. Brumaire

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    174

    2^n > n² pour n > = 2

    Bonjour,

    Je dois démontrer la formule suivante. J'ai considéré la suite Un = 2^n -n², pour montrer qu'elle était supérieure à zero quelque soit n> 4. Pour cela, j'ai cherché les variations de la suite Un en calculant U(n+1) - Un.
    Je me suis placé dans le cas n >= 4 où U(n+1) - Un >0
    puis j'ai calculé la différence U4 - U3 et U3 - U2 pour avoir les variations sur [2,3].
    Je pense que ma méthode est juste mais peut-être pas très élégante. Existe t-il une autre méthode?


     


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  2. Antikhippe

    Date d'inscription
    octobre 2003
    Âge
    27
    Messages
    1 968

    Re : 2^n > n² pour n > = 2

    Salut,

    On pourrait pas le faire par récurrence ?

    Je vais essayer.
     

  3. Brumaire

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    174

    Re : 2^n > n² pour n > = 2

    En fait, je ne l'ai pas fait par récurrence, car la formule n'est valide que pour n > = 4. Il aurait fallu donc commencer la récurrence pour n=4. La question était, pour quelle valeur de n 2^n > n² pour n > = 2. Justifiez votre réponse.
     

  4. Coincoin

    Date d'inscription
    octobre 2003
    Localisation
    Paris
    Âge
    29
    Messages
    16 627

    Re : 2^n > n² pour n > = 2

    Salut,
    Sinon tu peux dire que 2^n => n² équivaut à n/ln(n)=>2/ln(2) (tu exclus n=1 qui ne marche pas). Ensuite, peut-être qu'en étudiant la fonction x->x/ln(x), tu trouveras quelque chose (mais je ne te promets rien, je ne fais que proposer)
    Encore une victoire de Canard !
     

  5. ulrich richarovitch

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    65

    Re : 2^n > n² pour n > = 2

    La reccurence est fort simple:2^n>=n^2 => 2*2^n>=n^2+2*n+1 car n^2>=2n+1 pour n>=3.
     


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  6. Brumaire

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    174

    Re : 2^n > n² pour n > = 2

    Oui ca marche aussi comme ca.
     

  7. R is R

    Date d'inscription
    novembre 2004
    Messages
    145

    Re : 2^n > n² pour n > = 2

    elle marche pas la formule puisque pour n=3 : 2^n<n² donc jvois pas l'intéret de l'exercice a démontrer quelque chose de faux
     

  8. Antikhippe

    Date d'inscription
    octobre 2003
    Âge
    27
    Messages
    1 968

    Re : 2^n > n² pour n > = 2

    Citation Envoyé par R is R
    elle marche pas la formule puisque pour n=3 : 2^n<n² donc jvois pas l'intéret de l'exercice a démontrer quelque chose de faux
    Mais si, comme Brumaire l'a dit, la formule est vraie à partir de n = 4 ! (et ce n'est pas strictement inférieur, c'est une inégalité large, sinon tu vas dire que ça ne marche pas pour n = 4 (lol)).
     

  9. Brumaire

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    174

    Re : 2^n > n² pour n > = 2

    Si on fait la démonstration par récurrence, il faut avoir un point d'ancrage, c'est bien évidemment à nous de le trouver. Tu testes donc l'inégalité pour n=2, n=3, n=4, n=5, jusqu'à avoir ta stricte inégalité vérifiée. C'est le cas pour n=5, donc à partir de ce point d'ancrage tu peux démarrer ta récurrence et prouver au final que la stricte inégalité est bien vérifiée pour n > ou = 5
    Ma première méthode, qui consistait à étudier le signe de la suite U_n= 2^n - n² à partir de ses variations, avait l'avantage d'être plus globale. Tu vois ainsi aussi ce qui se passe pour n= 2, 3 et 4.
     

  10. R is R

    Date d'inscription
    novembre 2004
    Messages
    145

    Re : 2^n > n² pour n > = 2

    nan mais ce que je voulais dire c'est qu'on ne peut pas démarrer a n=2 puisque a n=3 c'est faux donc je ne voyais pas l'intéret de dire "prouve que 2^n > n² pour n>=2
     


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