Polynôme: division (question de méthode)

[invitee50a1bfa]

Bonsoir,

dans mon exercice on me demande de montrer que P est divisible par A
P= X^4 + 4X^3 + 4X^2 - 3X - 6
A= X^2 - X - 2


dans le corrigé:

-2 et 1 sont les racines de A
P(-2)=0 et P(1)=0
(c'est là que j'ai rien compris) le quotient de cette division est un polynôme du type Q= X^2 + aX + 3
en faisant AQ et en identifiant on trouve Q= X^2 + 3X + 3


j'aimerais savoir comment est ce qu'on fait pour savoir de quel forme doit être le quotient Q de la division, j'ai pas compris l'étape.



merci de votre aide. lilia
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[invitec053041c]

Salut.

AQ=P doit être de degré 4.
Comme A est de degré 2, cela t'impose que Q est de degré 2.
Après tu aurais pû poser Q=aX²+bX+c, mais le a est inutile, car tu vois directement que le coefficient devant X^4 est 1, et de même pour le coefficient devant le X² de A, donc le coeff devant le X² de Q sera égal à 1..

[invite1237a629]

Salut,

P(-2)=P(1)=0 montre qu'on peut factoriser P(x) par (x+2)(x-1)=x²-3x-2

Donc P(x)=(x²-3x-2)Q(x), avec Q(x) un polynôme de degré 2, puisque P est de d°4 et x²-3x-2 de d°2. Donc Q(x) est de la forme ax²+bx+c

Ensuite, tu vois les termes de P qui sont constants et qui sont du degré max de x, càd x^4 et -6.

En développant (enfin intuitivement) (x²-3x-2)(ax²+bx+c) ax^4 sera le seul terme en x^4 et -2c le seul terme constant.

Donc a=1 et -2c=-6.

Je vois po d'autre manière de l'expliquer... Disons que ça, ce serait un cheminement de brouillon, mais ça te donne l'idée rapidement (oui oui, rapidement, malgré la longueur de l'explication !)



EDIT : bon, ok, c'est long, me suis fait griller

[invitee50a1bfa]

merci tout les deux d'avoir répondue mais j'ai juste une question ecnore... vous avez supposé dès le débutqu'il n'y avait pas de reste? mais pourquoi?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

A=(X+2)(X-1)

Or, P(-2)=0 et P(1)=0, donc on peut mettre (X-1)(X+2) en facteur dans P, ie P=(X+2)(X-1)*Q=AQ