le groupe diédral Dn

[rhomuald]

Bonsoir,

je bloque sur cet exercice:

Nous allons ici définir le groupe diédral général comme groupe d'isométries du polygône régulier à côtés et montrer comment reconnaître qu'un groupe donné lui est isomorphe.

Soient , et le polygône régulier convexe à sommets inscrit dans le cercle unité, dont on notera le centre.

On rappelle que les isométries du plan affine forment un groupe et on note le sous-groupe des isométries qui laissent invariant.

(1) Justifier que le point est laissé fixe par un élément de . Combien y a-t-il de choix pour ? Et pour , lorsque est choisi? En déduire que .

(2) Vérifier que la symétrie orthogonale d'axe et la rotation de centre et d'angle appartiennent à .
Démontrer que et en déduire que pour tout , on a .

(3) Démontrer que .

(4) Soit un groupe tel que avec d'ordre , d'ordre 2 et .
Démontrer que le groupe est entièrement défini par ces données et qu'il est isomorphe à .

En définitive, un groupe donné est isomorphe à si et seulement si il existe un système générateur constitué de deux éléments et d'ordres et 2 respectivement vérifiant .

(5) Démontrer que est isomorphe à un sous-groupe de . Qu'en est-il pour ?


Bon déjà pour la (1) voilà ce que j'ai fait:

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est l'isobarycentre de , donc est l'isobarycentre de .

Or l'image d'un segment par est un segment de même longueur, donc l'image d'un côté de est un côté de , et un sommet est l'intersection de deux côtés, donc l'image par d'un sommet est un sommet,

ce qui entraîne que .

Donc .

Ensuite, pour on a choix, pour , on a alors plus que deux choix (car l'image d'un côté est un côté), et pour les autres il ne reste plus qu'un choix, car une isométrie du plan affine est affine, donc entièrement déterminée par l'image des trois points non alignés: .

D'où .

Après pour la (2), je ne vois pas comment montrer que ,

merci pour vos indications.

[God's Breath]

Or l'image d'un segment par est un segment de même longueur, donc l'image d'un côté de est un côté de , et un sommet est l'intersection de deux côtés, donc l'image par d'un sommet est un sommet,

ce qui entraîne que .

Après pour la (2), je ne vois pas comment montrer que ,

merci pour vos indications.

Tu as les bonnes idées, mais l'idée essentielle pour obtenir est qu'une isométrie est bijective, les deux ensembles ont donc même cardinal, et on a une inclusion entre eux, ce qui suffit largement à établir l'égalité.

Pour (2), quelles sont les propriétés géométriques de ?

[rhomuald]

Tu as les bonnes idées, mais l'idée essentielle pour obtenir est qu'une isométrie est bijective, les deux ensembles ont donc même cardinal, et on a une inclusion entre eux, ce qui suffit largement à établir l'égalité.

Pour (2), quelles sont les propriétés géométriques de ?

Je ne vois pas vraiment ce que tu entends par propriétés géométriques.

et sont sur l'axe de symétrie, donc sont invariants. (je me réfère à wiki pour la définition de symétrie orthogonale: http://fr.wikipedia.org/wiki/Symétri....A0_une_droite), on aurait donc plus que deux choix pour ?

[God's Breath]

Je ne vois pas vraiment ce que tu entends par propriétés géométriques.

s(Pn) est-il un polygone ? combien de côté a-t-il ? est-il régulier ? est-il inscrit dans un cercle ?... est-ce Pn ?

[rhomuald]

s(Pn) est-il un polygone ? combien de côté a-t-il ? est-il régulier ? est-il inscrit dans un cercle ?... est-ce Pn ?

ah oui d'accord, je vais chercher tout ça, ça ne m'a pas l'air direct.

Je reviens si j'ai un souci ou si j'ai trouvé,

merci God's Breath.

[rhomuald]

Je vois pas vraiment définir un polygone, pour moi c'est un peu comme un carré ou triangle mais en plus général (pas très formel), sur wiki ils disent que c'est une suite de segments (vérifiant certaines propriétés, http://fr.wikipedia.org/wiki/Polygone). Ca veut dire quoi régulier?

[rhomuald]

Encore une chose qui me gêne un peu dans cette définition:

Soient , points d'un espace géométrique. On dénomme alors polygone la figure notée « », et constituée par la suite des segments : et .

.

Qu'est-ce qu'on entend formellement par le terme figure ?

[rhomuald]

Y a 'til aussi un moyen plus facile d'exprimer la fonction ?

Le seul moyen que j'ai trouvé est:

le point qui est sur la droite (où est le projeté orthogonal de sur ) et tel que est le milieu de .

[God's Breath]

Une figure, c'est un sous-ensemble d'un espace affine.

Dans la pratique, c'est la représentation que l'on en donne, moyennant certaines conventions, sur une feuille de papier (ou autre support...)

Le polygone régulier, c'est une ligne brisée fermée, c'est-à-dire une suite de segments consécutifs, l'extrémité du dernier, étant le point initial du premier, ces segments ayant tous même longueur, et deux segments consécutifs faisant toujours le même angle.

Dans la pratique, puisqu'on te dit que le polygone est inscrit dans le cercle unité, tu peux représenter ses sommets comme les points représentant les racines n-ièmes de l'unité dans C.
Tu peux alors interpréter la symétrie s par la conjugaison dans C, qui conserve les racines de l'unité, et la rotation r par la multiplication par exp(i<pi>/n).

N'as-tu donc jamais utilisé les nombres complexes en géométrie plane ?

[rhomuald]

Une figure, c'est un sous-ensemble d'un espace affine.

Dans la pratique, c'est la représentation que l'on en donne, moyennant certaines conventions, sur une feuille de papier (ou autre support...)

Le polygone régulier, c'est une ligne brisée fermée, c'est-à-dire une suite de segments consécutifs, l'extrémité du dernier, étant le point initial du premier, ces segments ayant tous même longueur, et deux segments consécutifs faisant toujours le même angle.

Dans la pratique, puisqu'on te dit que le polygone est inscrit dans le cercle unité, tu peux représenter ses sommets comme les points représentant les racines n-ièmes de l'unité dans C.
Tu peux alors interpréter la symétrie s par la conjugaison dans C, qui conserve les racines de l'unité, et la rotation r par la multiplication par exp(i<pi>/n).

N'as-tu donc jamais utilisé les nombres complexes en géométrie plane ?

Non j'ai arrêté le lycée en première, donc les nombres complexes quand je les ai vus à la fac, il devait y avoir pas mal de notions acquises comme celles-ci et dans les bouquins post bac que j'ai consulté, il n'en parlent pas trop à part dans le Godement quand il définit les complexes. Sinon j'ai déjà vu un peu les racines n-ièmes de l'unité dans le plan complexe, mais je n'avais pas pensé représenter cette symétrie par rapport à la conjugaison, merci je vais pousuivre ma recherche.

[rhomuald]

ok donc .

Donc l'image d'un sommet de par est un sommet. Après il faudrait voir comment ces sommets sont reliés après passage de .

[rhomuald]

ah oui j'oubliais, il faut montrer que est affine.

[rhomuald]

ok donc .

Donc l'image d'un sommet de par est un sommet. Après il faudrait voir comment ces sommets sont reliés après passage de .

Déjà ceci nous dit que est inscrit dans le cercle unité.

[rhomuald]

ah oui j'oubliais, il faut montrer que est affine.

mais la conjugaison () est IR-linéaire, donc affine, non?

[rhomuald]

mais la conjugaison () est IR-linéaire, donc affine, non?

et elle est bijective d'inverse elle-même, elle est aussi isométrique.

Donc le centre reste fixe.