Primitive de ln(ax+b)

[Gilgamesh]

Bonjour tout le monde,

ceci n'est pas un exercice (scolaire)

Je cherche à calculer l'équation de la trajectoire d'une arche interstellaire de masse initiale m qui se propulse à poussée cte en éjectant un débit massique q à la vitesse d'éjection u.

L'accélération est :



J'integre pour avoir la vitesse :



Et je veux intégrer une nouvelle fois pour avoir l'abscisse x :





Et là, je bloc sur la primitive du second terme, de la forme ln(ax+b).

Vous feriez comment ?

merci
a+
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[invite57a1e779]

Et là, je bloc sur la primitive du second terme, de la forme ln(ax+b).

Vous feriez comment ?

Il suffit d'intégrer par parties en posant
et
d'où et .

[Gilgamesh]

Il suffit d'intégrer par parties en posant
et
d'où et .

merci,

mais je fais comment avec mon ln(u) ?

a+

[invite8bc5b16d]

merci,

mais je fais comment avec mon ln(u) ?

a+

C'est une petite faute de frappe, u=ln(ax+b) (d'ailleurs ca se voit à la tête de la dérivée )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gilgamesh]

Ah ! c'est plus clair comme ça, merki

[Gilgamesh]

Donc j'ai :



c'est ça ?

a+

[invite8bc5b16d]

EDIT : oui en fait j'ai rien dit

[invited622d663]

Oui Gilgamesh.


Sinon la primitive de ln(ax+b) correspond à : [ ( (ax+b)*ln(ax+b) )/a ] - x

Vérifie. Mais sinon pour arriver à cela c'est comme la mentionner Gilgamesh

[Gilgamesh]

ça me donne :



le 2e terme se simplifie super bien en:


et on obtient :

[invite57a1e779]

ça me donne :



le 2e terme se simplifie super bien en:


et on obtient :

C'est tout à fait exact, et je m'excuse d'avoir oublier le logarithme dans le de mon intégration par parties.
Je fais beaucoup de fautes de frappes parce que je fais les calculs de tête et je les écrits directement en LaTeX sans brouillon papier.

Avec les notations de ton problème, cela donne
, donc
.
Et il reste la constante d'intégration à calculer d'après les données initiales.

[invited622d663]

Voilà c'est bien ça oui. mais n'aurais-tu pas oublié le "u" ???

[invite57a1e779]

Voilà c'est bien ça oui. mais n'aurais-tu pas oublié le "u" ???

Bien évidemment, j'ai encore oublié quelque chose : le facteur dans le deuxième terme.

Ma devise : "faites ce que je dis, pas ce que je fais."

[Gilgamesh]

ma constante d'intégration est telle que x=0 en t=0 et elle est égale à -um.ln(m)/q

en réarrangeant tout ce beau monde, j'obtiens :

(roulement de tambour)




Et ça marcheu \o/

Mon arche de 20Gt, propulsée par 8 Mt de poussée (soit a=1,59 mm/s² au départ), termine sa période d'accélération en 57,3 ans, à 4500 km/s. Elle a parcouru 0,55 al à la vitesse moyenne de 2138 km/s.

C'est farpaitement cohérent, je dirais même que c'est juste.


merci, merci

[Gilgamesh]

(edit : 20 Gt * 1,82 au départ, avec le carburant )