exo difficile (pour moi!) sur le log népérien

[invite776a26e4]

Bonjour, je n'arrive pa à faire cet exo ( décidément, c'est pas mon truc le logarithme!!)

a est un réel strictement positif.
f est la fonction définie sur ]0;+ l'infini[ par f(x)=ln(ax)
et C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal(O,i,j).

1/ Par quelle transformation géométrique peut-on obtenir C à partir de la courbe représentative de la fonction ln? (tracer C)

2/a) Calculez l'abscisse du point M, intersection de C avec l'axe des abscisses, puis calculez l'abscisse du point N de C dont l'ordonnée est égale à 1.

b) Démontrez que la droite (MN) passe par un point fixe F lorsque a décrit l'intervalle ]0;+ l'infini[.

3/a) En quel point T de la courbe C la tangente est-elle parallèle à la droite (MN)?

b) On note N' et T' les projetés orthogonaux de N et T (respectivement) sur l'axe des abscisses. Prouvez que [ON'] et [MT'] ont le même milieu I.

voila. dur dur!! merci beaucoup pour votre aide.
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[deep_turtle]

Bonjour,

Ce forum est fréquenté par des gens d'horizons très divers, dont certains pourraient sans doute vous fournir la solution complète à votre exercice. Cependant, ce n'est pas pour ça que la plupart des gens le fréquentent, et ce n'est certainement pas le but de ce forum.

Il est de bon ton de montrer qu'on a réfléchi un minimum au problème qu'on envoie, indiquer ce qu'on a déjà fait, là où l'on bloque, ce qu'on a réussi et ce qui a raté. Les autres participants seront aussi plus enclins à vous répondre si vous faites cet effort que si vous vous contentez de recopier un énoncé...

Pour la modération.

[deep_turtle]

Et pour répondre sans la casquette de modérateur, la première question ne fait pas intervenir le fait qu'il s'agit d'une fonction log, la réponse serait la même si tu remplaçait partout log par cos ou n'importe quoi d'autre...

[invite787e8665]

Bonjour, je n'arrive pa à faire cet exo ( décidément, c'est pas mon truc le logarithme!!)

a est un réel strictement positif.
f est la fonction définie sur ]0;+ l'infini[ par f(x)=ln(ax)
et C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal(O,i,j).

2/a) Calculez l'abscisse du point M, intersection de C avec l'axe des abscisses, puis calculez l'abscisse du point N de C dont l'ordonnée est égale à 1.

Intersection de C avec l'axe des abcisse => ln(ax)=0 <=>ax=exp(0)=1 => x=1/a
Ordonnée = 1 => ln(ax)=1
Faut faire le meme développement que ci-dessus

Ensuite tu passe aux questions suivantes qui devraient pas trop posé de probleme vu que t'a la réponse de la question 2)a

[A voir en vidéo sur Futura]

[jcm]

Bonjour, je n'arrive pa à faire cet exo ( décidément, c'est pas mon truc le logarithme!!)

a est un réel strictement positif.
f est la fonction définie sur ]0;+ l'infini[ par f(x)=ln(ax)
et C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal(O,i,j).

1/ Par quelle transformation géométrique peut-on obtenir C à partir de la courbe représentative de la fonction ln? (tracer C)

2/a) Calculez l'abscisse du point M, intersection de C avec l'axe des abscisses, puis calculez l'abscisse du point N de C dont l'ordonnée est égale à 1.

b) Démontrez que la droite (MN) passe par un point fixe F lorsque a décrit l'intervalle ]0;+ l'infini[.

3/a) En quel point T de la courbe C la tangente est-elle parallèle à la droite (MN)?

b) On note N' et T' les projetés orthogonaux de N et T (respectivement) sur l'axe des abscisses. Prouvez que [ON'] et [MT'] ont le même milieu I.

voila. dur dur!! merci beaucoup pour votre aide.

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Commence déjà par arranger ln (ax ). remplace le par lnx + lna, en particulier pour la question 1.
Suivant les questions suivantes, à toi de voir s'il est préférable d'utiliser la première forme ou la deuxième.
mais le modérateur a raison, l'exo est quand même assez facile, il faut que tu cherches.

[invite776a26e4]

j'en suis à la question 2/b/. j'ai calculé l'équation de (MN) mais je ne vois pas comment faire avec le point F. Et aussi sur les questions d'après. Je suis désolée mais moi je ne trouve pas l'exercice facile, étant donné mes lacunes en maths, je pense que vous pouvez comprendre. merci quand même encore pour votre aide.

[shokin]

1/ Par quelle transformation géométrique peut-on obtenir C à partir de la courbe représentative de la fonction ln? (tracer C)

Pour passer de ln(x) à ln(ax),

ln(ax)=ln(a)+ln(x),

comme ln(a) est une réelle constante, tu as donc une translation ![/QUOTE]

2/a) Calculez l'abscisse du point M, intersection de C avec l'axe des abscisses, puis calculez l'abscisse du point N de C dont l'ordonnée est égale à 1.

ln(ax)=0, tu résouds cette équation, trouve x, donc f(x)=y.

f(x)=1, donc ln(ax)=1, ou avec la fonction réciproque e^1=ax (vous me dites si je me trompe)

b) Démontrez que la droite (MN) passe par un point fixe F lorsque a décrit l'intervalle ]0;+ l'infini[.

Là, je n'ai pas compris la question, ou plutôt "a décrit l'intervalle ]0;+ l'infini[."

3/a) En quel point T de la courbe C la tangente est-elle parallèle à la droite (MN)?

Là, tu calcules la pente t de la droite MN.

Quand est-ce que f'(x)=t (la dérivée de f(x)=ln(ax) ? tu trouves le point... ainsi que la droite tangente à f(x) et parallèle à (MN).

b) On note N' et T' les projetés orthogonaux de N et T (respectivement) sur l'axe des abscisses. Prouvez que [ON'] et [MT'] ont le même milieu I.

En d'autres termes, prouver que OMN'T' est un parallélogramme. Tu connais O, N donc N', T donc T', ainsi que M, no problem !

Shokin

[Floris]

Bonjour, je fait une petite intervention pour aider notre amis.
Par exemple une équation avec logarithme népérien.

/=> ln x - 2 ln(x-4)=-ln 2
/=> ln(x²-1)+2ln 2 =ln(4x-1)
/=> ln(x-3)(x+1)=ln(x²-6)
/=> ln(3x+2)=2
/=> inx-2ln(x-4)=-ln2

Il doit étre que x>4 ou de même que x apartienne (4;+infinit(

Je croi, mais attention j'ai peut étre fait des éreurs .
Cordialement
flo

[invite776a26e4]

ok merci bcp je vais essayé avec tout ça. merci encore

[invite776a26e4]

j'ai réussi à tout faire à part la question 2/b/ où je ne comprend vraiment rien. svp encore une petite aide. merci beaucoup

[invite776a26e4]

j'arrive vraiment pas la question 2/b/ et la dernière, aidez-moi svp. Merci

[shokin]

Alors la question 2b, c'est justement, celle que je n'ai pas vraiment compris, on va essayer concrètement, si t'as réussi tout l reste :

a est un réel strictement positif.
f est la fonction définie sur ]0;+ l'infini[ par f(x)=ln(ax)
et C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal(O,i,j).

1/ Par quelle transformation géométrique peut-on obtenir C à partir de la courbe représentative de la fonction ln? (tracer C)

ln(ax)=ln(a)+ln(x), ce sera donc une translation de vecteur : (0 ln(a) )

2/a) Calculez l'abscisse du point M, intersection de C avec l'axe des abscisses, puis calculez l'abscisse du point N de C dont l'ordonnée est égale à 1.

Pour M : ln(ax)=0 donc ln(a)+ln(x)=0 donc ln(x)=-ln(a) donc ln(x)=ln(1/a) donc x=1/a. et y=0 odnc M(1/a;0)
Pour N : ln(ax)=1 donc e^1=ax donc e=ax donc x=e/a y=1 donc N(e/a;1)

b) Démontrez que la droite (MN) passe par un point fixe F lorsque a décrit l'intervalle ]0;+ l'infini[.

Déterminons donc la droite (MN) :

son vecteur directeur est le vecteur -MN> = ( (e-1)/a 1)

elle passe entre autres par le point M donc nous pouvons avoir l'équation paramétrique de la droite (MN) :

x (1/a) ( (e-1)/a )
= +
y (0) (1)

Cherchons donc aussi son équation cartésienne :

Comme -MN-> = ( (e-1)/a 1 ), l'équation cartésienne, de type ax+by+c=0 aura a=1 et b=(1-e)/a. Reste C que nous pouvons trouver par exemple en prenant M :

1*1/a+(1-e)/a*0+c=0 donc c=-1/a.

L'équation cartésienne de la droite (MN) est donc pour tout a :

1*x+(1-e)/a*y-1/a=0 Que nous pouvons aussi écrire (avec a non nul) :

ax+(1-e)*y-1=0

Vérifions cela avec nos deux points M et N :

a(1/a)+(1-e)*0-1=0, 1+0-1=0 ça joue pour M !
a(e/a)+1-e*1-1=0, e+1-e-1=0, ça joue également pour N !

Voyons donc avec deux a différents l'intersection des deux droites :

ax+(1-e)*y-1=0
Ax+(1-e)*y-1=0

donc ax=1-(1-e)*y=Ax, ou ax=Ax.
Comme ni a, ni A n'est nul et comme a inégal à A (délibérément), x est nul.
On a donc (1-e)*y-1=0, donc (1-e)*y=1 donc y=1/(1-e).

Donc pour deux a réels strictement positif et distincts, l'intersection des droites (MN) passera toujours par le point (0;1/(1-e)).

Donc toutes les droites (MN) [pour tout a strictement réel] passent par (0;1/(1-e)).

La fonction ln(x) n'est pas définie pour x=0, donc la fonction ln(ax) n'est pas définie pour a=0 ou x=0.

Donc il existe bel et bien un point fixe situé sur (MN) pour tout a réel strictement positif.

3/a) En quel point T de la courbe C la tangente est-elle parallèle à la droite (MN)?

Le vecteur directeur -MN-> de (MN) est ( (e-1)/a 1).

Donc sa pente est a/(e-1). [Pour un vecteur (a b), la pente est b/a dans le plan.]

f'(x)=[ln(ax)]'=[ln(a)+ln(x)]'=[ln(a)]'+[ln(x)]'=0+1/x=1/x.

Donc la pente en tout x réel strictement positif est 1/x.

Il faut donc que 1/x=a/(e-1), donc x=(e-1)/a

f(x)=ln(ax), f((e-1)/a)=ln(a*(e-1)/a)=ln(e-1)=y

donc le point T((e-1)/a;ln(e-1))

b) On note N' et T' les projetés orthogonaux de N et T (respectivement) sur l'axe des abscisses. Prouvez que [ON'] et [MT'] ont le même milieu I.

N(e/a;1)
T((e-1)/a;ln(e-1))
donc
N'(e/a;0)
T'((e-1)/a;0)

O(0;0)
M(1/a;0)

Le milieu de [ON'] est (e/2a;0).
Le milieu de [MT'] est (e/2a;0).

Ce qui représente le même point !

QED

Shokin

[invite776a26e4]

merci beaucoup vous m'avez vraiment éclairé. bonne journée