Retrouver une fonction à partir d'une série entière

[invitea94cbf56]

Bien le bonsoir,

Depuis quelques temps, je file un coup de main à une amie en fac de maths.

Jusque là j'ai pu m'en sortir avec mes cours de sup, mais cette fois je bloque (pourtant je suis sûr que c'est simple comme bonjour mais pas moyen de voir le petit truc qui fait que...)

J'ai les séries entières suivantes

On me demande de calculer le rayon de convergence (pas eu de souci), mais pour retrouver la fonction qui donne ces séries, je plante, mon cours de l'époque contient surtout des séries avec des factorielles ou des séries alternées.

Merci de votre aide !!
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[Gwyddon]

Hello,

Rappelle-toi des séries classiques, et que l'on peut les intégrer, les dériver, etc...

Si jamais tu ne trouves pas ainsi, il existe une autre méthode, plus bourrine : tu essayes de voir l'équation différentielle que vérifie ta série entière.

[Garf]

Il faut bidouiller avec les dérivation, intégration, factorisation par x ou 1/x, pour retomber sur des séries connues. Par exemple (sous réserve de l'absence d'erreur d'étourderie) :



Pour la b) : on sépare en deux sommes (astuce : 4n-1 = 4(n+1)-5) dont on peut trouver l'expression séparément.

Pour la c) : factorisation par x, on reconnaît la dérivée de quelque chose ; on recommence l'opération avec ce quelque chose, et on retombe sur une série classique.

Pour la d) : factorisation par 1/(2x), et on reconnaît une primitive d'une série classique.

[invitea94cbf56]

Gros gros merci à toi Garf.

C'est loin la prépa.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Ploup,

Il ne manquerait pas un facteur 1/2, vu que la dérivée de 2x est 2 ?

[Garf]

Ben, c'est le 2 devant la fraction à la fin, à moins que j'aie raté quelque chose...

[invite1237a629]

En fait je parlais de cette étape, ce n'est pas exactement la dérivée puisqu'il doit y avoir un 2 qui apparaît, no ?

[Garf]

Ah oui, effectivement, un 1/2 qui se simplifie avec le 2 à la fin. C'aurait été plus sûr de faire un changement de variable (t=2x). Bien vu !