Conique, matrice, changement de repère

[invitead1578fb]

Bonjour tout le monde,


l'équation d'une conique étant

ax² + 2bxy + cy² + 2dx +2ey +f = 0
on lui associe l'écriture matricielle (dans la base canonique)
(desole, je gere par l'écriture sur le forum, donc j'écrirai t(A) pour la transposée de A ... :s )
t(X)AX + 2LX + f = 0 (1)
avec A = [[a,b][b,c]] , L=[d,e] et X=[[x],[y]]



Changement de repère:

dans un repère (O',u,v) l'équation (1) s'écrit

t(X')A'X' + 2L'X' + f' = 0
avec X' le vecteur X dans le nouveau repère,
A'=t(P)AP où P est la matrice de passage de B à (0',u,v)
L'=t(X0)AP + LP , avec X0 les coord de 0' dans B
f'=t(X0)AX0 + 2LX0 + f

pour démontrer cette formule, il "suffit" de remplacer X par PX' + X0,

seulement voilà, je suis amené à montrer t(X')t(P)AX0 = t(X0)APX' ce qui amène le facteur 2 on met ensuite ce terme dans L'

J'ai montré cette égalité de façon bourrin ... pouvez me donner une version élégante de la démonstration, sachant qu'on est en dim2 et que A est symétrique ?

Merci d'avance.
Blable.
-----

[invitead1578fb]

je relance le sujet au cas où

[God's Breath]

Bseulement voilà, je suis amené à montrer t(X')t(P)AX0 = t(X0)APX' ce qui amène le facteur 2 on met ensuite ce terme dans L'

J'ai montré cette égalité de façon bourrin ... pouvez me donner une version élégante de la démonstration, sachant qu'on est en dim2 et que A est symétrique ?

La matrice t(X')t(P)AX0 n'a qu'un seul élément, donc elle est égale à sa transposée...

[invitead1578fb]

la matrice n'étant même pas carrée, vue qu'elle est du type transposée de vecteur ... je vois pas comment t'affirmes que la matrice est égale à sa transposée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Bonjour,
la matrice est carré puisqu'elle est de taille 1x1 comme te le dit God's Breath. Elle n'est nullement une transposée de vecteurs mais un produit de transposées de vecteur et de transposées de matrices entre autre, ce qui n'est pas vraiment la même chose.
t(X0) est de taille 1x2
t(P) est de taille 2x2
Donc t(X0)t(P) est de taille 1x2
A est de taille 2x2
Donc t(X0)t(P)A est de taille 1x2
X0 est de taille 2x1
Donc t(X)t(P)AX0 est de taille 1x1, elle est donc égale à sa transposée.

[invitead1578fb]

ah oui, desolé. merci bien a vous deux en tout cas